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 grand module de 



(3) 7/("+£l^N 



sera moindre ou plus grand que l'unité. 



» La valeur de y, qui donne le module maximum, correspond à une 

 racine de l'équation 



4f^_ 



qui revient à 



(5) j/'(«+j)-y(«+jr). 



En remplaçant y par l'expression plus générale ^ = re"^, on cherchera, 

 dans l'expression (4), la valeur de w qui rend l'expression (3) un maximum, 

 et l'on déduira de l'équation (5) la valeur de /■ correspondant au maximum 

 maximonim du module : telle est la théorie de Cauchy. 

 » Lagrange considère une fonction qf{oc) de la forme 



(6) <7/(.r) = A.r^ + Bx* — Cx'^+ .... 



Observant que les termes de la série dont le terme général est (a) se dé- 

 composent en termes monômes suivant les puissances de u, il trouve, 

 pour le terme général monôme de l'ordre /, l'expression suivante : 



(7) K[„(^)-(-;)'(^)-(^)'...]'=.N', 



où R est un coefficient de l'ordre i élevé à une puissance Bnie, et les 

 quantités /x, v, n, . . . et u sont liées par les conditions suivantes : 



( 8 ) /j. 4- V + 7r H- . . . = I , 



(g) ^ u = a/Jt.+ Av -I- en + . . . . 



Lagrange, considérant que lim yR = i quand on fait / = oo , en conclut 

 que la condition nécessaire pour que les termes monômes de la série for- 

 ment eux-mêmes une série convergente est que le plus grand module 

 deN soit moindre que l'unité. 



» En cherchant, par rapport à fjt,, v, ti, . . . , u, le maximum de 



(.0) K = „(^)-'(^n5)-(^)"..., 



