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on trouve, pour déterminer les valeurs de |ji., v, tt, . . . , u correspondant à 

 ce maximum, les équations suivantes : 



X est un coefficient qui a pour expression 



(•3) x = [a(^)%b(„-^)Vc(.-^)V...]-. 



» Telle est la tliéorie de Lagrange, exposée dans toute sa généralité, mais 

 dont lui-même restreint l'application, comme on le verra, pour déterminer 

 la condition de convergence à laquelle doit satisfaire sa série, afin qu'elle 

 représente la plus petite racine (numériquement) de l'équation (i), lorsque 

 qj{x) est une fonction rationnelle et entière de x. 



Si l'on fait 



(i4) ;:^7=«+r» 



puis qu'on substitue dans les équations (lo), (ii) et (12), et qu'on divise 

 cette dernière par [u +jr), on aura, en mettant pour X sa valeur (i3), 



A[u-hyY+'R{u +r)*+C («-t-.y)''+" 



(i5) N 



y 



et à la place de l'équation (12) la suivante : 



lj[ka[ii + J/'-' 4- Bè(M + j)*-' + Cc(« +;■)'-' + ...J ^ 



(.6 



= o. 



» En ayant égard à l'équation (6), les deux précédentes prendront la 

 forme suivante : 



(17) ^ = '!l^^i±ll, 



(18) jf{^jc^j)-Jlu-^J)^0, 



équations identiques avec les équations (3) et (4) obtenues par Cauchy. 



» Cette identité des résultats auxquels on arrive par des voies si diffé- 

 rentes est une confirmation de l'exactitude des formules données par ces 

 deux grands géomètres, pour établir les conditions de convergence de la 

 série de Lagrange. Ainsi quelques auteurs ont été mal fondés, en voulant 



