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ANALYSE. — Sur une réduction de l'équalion à différences partielles du 

 troisième ordre, qui régit les familles de surfaces susceptibles de faire partie 

 d'un système orthogonal. Note de M. Matrice Levy, présentée par 

 M. O. Bonnet. 



« Soit 



(i) p = F(.r,j, z) 



l'équation d'une famille de surfaces. Posons, avec M. Lamé, 

 W [(l)-(|)V(.ï)f=H. 



» On sait, par un théorème bien connu dû à M. O. Bonnet, que, si les siu'- 

 faces dont il s'agit sont susceptibles de faire partie d'un système orthogo- 

 nal, leur paramètre p satisfait à une équation à différences partielles du 

 troisième ordre; et, tout récemment, M. Cayley a mis cette équation sous 

 la forme remarquable 



(3) A-— +A,-— +A2 -— +I5-— ;- + B, — — +B„-— — = o, 



^ ' d.c' dy^ '■ d-J dy dz dz dx ' dx dy ' 



où les coefficients A, et B, s'expriment au moyen des dérivées partielles 

 des deux premiers ordres de la fonction inconnue p, de telle sorte que 

 l'équation est linéaire par rapport aux dérivées du troisième ordre de 

 cette fonction. 



» Je me propose de montrer que, par un changement de variables des 

 plus simples, on peut, sans modifier la forme de l'équation (3), faire dis- 

 paraître trois des six termes qu'elle contient. 



» Il suffit pour cela de prendre poii.r fonction inconnue, au lieu du pa- 

 ramètre p, l'une des coordonnées rectilignes : z par exemple, et pour 

 variables indépendantes x^y et p, au lieu de x, j et z. 



» On pourrait déduire la nouvelle équation en z de l'équation (3); mais 

 il est plus simple de l'établir directement. 



» Soient M x'. M/' les tangentes aux lignes de courbure de la surface p 

 passant en un point M de l'espace, et M:' la normale à cette surface. Dans 

 un Mémoire inséré au Journal de l'Ecole Polytechnique (*), nous avons 

 montré que, si l'on prend pour un instant les lignes Mjt', M^', Mz' pour 

 axes des x\ des ^' et des z' , la condition pour que les surfaces p puissent 



(*) XLIIP cahier. 



