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 l'écrit habituellement 



(5) [pqt-{^+q')s\dj^ - [(I +?=)'•- {i+p')i\dxdy 



-\-[[i-\-p-)s — pqr]dx^ = o, 

 donne 



OT,ff?j m, ii, + nyiii^ n,n2 mit7i.,r-i-{mtn,+n,mi)s-\-n,n,t _ 



donc 



m, nio r -+■ (m^ «2 + f^t >Jh)^ + "i "2 ^ = o, 



et l'équation (4) se réduit à 



» La fonction H qui en x, /, z est donnée par la relation (2), a ici 

 pour expression 



(7) H=(;,^ + 5^-mP| = A-|, 



en désignant, pour abréger, par la lettre h la quantité p^ + 9* + i. 



)) L'équation (6), où H a la valeur (7), est l'équation à différences par- 

 tielles du troisième ordre cherchée, à laquelle doit satisfaire une fonction 

 z=f[x,/,p), pour que les surfaces qu'elle représente puissent faire 

 partie d'un système orthogonal. On voit qu'elle s'établit très-simplement, 

 et, comme nous l'avons annoncé, tout en conservant la forme remarquable 

 de l'équation (3) de M. Cayley, elle ne contient que trois termes au lieu 

 de six. Pour la former, on peut d'ailleurs énoncer cette règle très-simple ■ 

 Écrivez sous sa forme habituelle (5) l'équation des lignes de courbure en 

 projection sur le plan des xj; remplacez-y 



dx^, dxdy, dj^, 

 respectivement par 



d^p'+q'+l)'''^ cV[p'+q'+.l)'^'^ d^{p^+q'+l)'~'^ 



dx^ d.v dy tfy^ 



et vous aurez l'équation cherchée. 



» Tandis que l'équation (3) en p contient toutes les dérivées du troi- 

 sième ordre de cette fonction, l'équation (6) en z ne contient pas les trois 



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