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MÉMOIRES PRÉSEiXTÉS. 



ANALYSE. — Rapport anliannonique de quatre points du plan. 



Note de M. F. Lucas, présentée par M. Resal. 



(Renvoi à la Section de Géométrie.) 



(i Soient a, /3, 7, 5 les coordonnées symboliques de quatre points A, B, 

 C, D du plan. J'ai appelé rapport anharmonique de ces quatre points [Compte 

 rendu du 18 novembre i<i']2) l'expression analytique 



, , S — or y — a. 



Cette expression est généralement imaginaire, en sorte qu'en désignant 

 par p son module et w son argument, on i)eut poser 



(2) y = pe'^'^. 



On a évidemment 



/ _ DA . CA 

 H) ) '' ~ DB • Cb' 



( «= ADB-xiCB. 



» Le rapport anharmonique est donc une fonction de la figure ABCD, 

 et cette fonction conserve sa valeur primitive, soit qu'on déplace la figure 

 dans le plan sans la déformer, soit qu'on la transforme par la méthode 

 homothétique, soit qu'on la transforme par la méthode des rayons vec- 

 teurs réciproques. 



» Pour que le rapport anharmonique devienne réel, il faut et il suffit que 

 les deux angles ADB, ACB soient égaux on supplémentaires, c'est-à-dire 

 que les quatre points A, B, C, D appartiennent à la même eirconférence. Le 

 rapport est positif si les deux points C et D se trouvent situés du même côté 

 de AB; il est négatif si ces points sont de part et d'autre de la droite. Dans 

 cette disposition circulaire, le rapport anharmonique peut aussi s'exprimer, 

 au moyen d'un cinquième point quelconque M de la circonférence, par la 



formule 



. sinDINlA . sinCMA 



^^' . ^ ~ sinDMB • sinCMB' 



H Si la circonférence dégénère en ligne droite, le rapport anharmonique 

 des quatre pouits s'identifie avec celui qui a servi de base à la Géumèlrie 

 supéiieure de M. Chasles. 



