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 terminé, si l'on assujettit à certaines restrictions les substitutions linéaires 

 à opérer sur les variables, ou si l'on considère un système de deux poly- 

 nômes bilinéaires. 



» Parmi les diverses questions de ce genre que l'on peut se proposer, 

 nous considérons les suivantes : 



» 1° Ramener un polynôme bilinéaire P à une forme canonique simple 

 par des substitutions orthogonales opérées les unes sur x,,..., x,„ les 

 autres sur j>,,..., 7„. 



» 2° Ramener P à une forme canonique simple par des substitu- 

 tions linéaires quelconques, mais opérées simuUanéinenl sur les x et sur 

 les j. 



» 3° Ramener simultanément à une forme canonique deux polynômes 

 P et Q par des substitutions linéaires quelconques, opérées isolément sur 

 cliacune des deux séries de variables. 



» Le premier de ces problèmes est nouveau, si nous ne nous trompons. 

 Le deuxième a déjà été traité (dans le cas où n est pair) par M. Kronecker 

 [iVonalshericht du i5 octobre i866), et le troisième par TM. Weiersirass 

 [ibicL, i8 mai i868); mais les solutions données par les éminents géo- 

 mètres de Berlin sont incomplètes, en ce qu'ils ont laissé de côté certains 

 cas exceptionnels qui, pourtant, ne manquent pas d'intérêt. Leur analyse 

 est en outre assez difficile à suivre, surtout celle de M. Weierstrass. Les 

 méthodes nouvelles que nous proposons sont, au contraire, extrêmement 

 sin)ples et ne comportent aucune exception. 



» Problème I. — On voit aisément que les maxima et minima de P, 

 pour les valeurs de x,,..., x„, et dej,,..., j„, qui satisfont aux relations 



a-: 



sont les racines de l'équation caractéristique 



D 



-). 



An 



A,, 



o 

 -X 



A,, 



» Cette équation ne contient que des puissances paires de X, et ses coef- 

 ficients resteront invariables, quelque s\iljstitution orthogonale que l'on 

 opère sur les x ou sur lesj'. Soient diX,,..., dzX„ ses racines. On pourra 



