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 ramener P à la forme canonique 



Ce résultat ne pourra cire obtenu que d'une seule manière si X,,..., "k,, sont 

 distinctes; d'une infinité de manières dans le cas contraire. Dans l'un et 

 l'autre cas il sera aisé de calculer les transformations qui conduisent au 

 but. 



» Problème II. — On peut poser 



p = n + ri,, 



n étant une fonction symétrique par rapport aux deux systèmes de va- 

 riables x etj-, et n, changeant au contraire de signe lorsqu'on permute 

 ces deux systèmes. Soit maintenant T la forme quadratique obtenue en 

 posant y, = x,,..., j;„ = a'„ dans H. On pourra, par une transformation 

 convenable opérée sur les x, ramener T à une somme de carrés 



x2+... + x2 {m In), 



et, en opérant cette même transformation à la fois sur les x et sur les )■, 

 on mettra II sous la forme 



Quant à II,, il sera évidemment de la forme 



n, = - B,p(,r, rp - ^p n) (j z ;; ^;::;; " _ ,)• 



Il reste à simplifier cette expression par une substitution linéaire qui n'al- 

 tère pas la forme réduite déjà obtenue pour H. 



» Supposons, pour plus de généralité, que l'on ait m <Cn, et considé- 

 rons ceux des coefficients Bo,p pour lesquels « et p sont tous deux >• m. 

 Si l'un d'eux, B„ „_(, par exemple, diffère de zéro, on pourra opérer un 

 changement de variables qui n'altère pas II et qui réduise II, à la forme 

 plus simple 



n', étant de même forme que II,, mais ne contenant plus les variables a7„_,, 

 x„,j„_,,jn- O'i simplifiera de même la forme de U\, s'il y a lieu, de ma- 

 nière à avoir finalement 



n, = X„J',i—, — X,i^i 2'n~^ •■■~^^n-2p+-2.X>'-'ip-i-l ^n-2p+l ) n-2p+2 ~t~ "21 



C. R,, 1873, 2' Semestre. (T.LXXVU, N" 23.) '9"^ 



