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 n, étant de la forme 



et les coefficients B^p étant nuls, toutes les fois qu'on aura simultanément 

 a > 7K, |3 > m. 



» Considérons maintenant ceux des coefficients B^fj pour lesquels on 

 a u^ m, ^ ^m. Supposons, pour plus de généralité, que l'un d'eux, par 

 exemple B„_op „„ soit différent de zéro. On pourra, par une substitution 

 convenable, qui n'altère pas la forme de n, réduire Ho à la forme 



n'j étant de même forme que Ho, mais ne contenant plus les variables x„, 



^11— 2/n J mi Jn—lp' 



X On simplifiera de même la forme de Il'g s'il y a lieu, et l'on aura enfin 



11 2 =^ •^n—ipj m ' -^ mjn—2p ~i~ • • • ~t~ ^ n—'ip—q J m—q '*' m—q ,1 n—2p—q ~t~ ^*3) 



ITj ne contenant plus que les variables x,, . . . , x„,_^_,, j-,,. . . , ;>■„-?-)• 

 » Soit 



n3 = zB.p(x.jp -^pj„) (J = ;; ^;;_;;; '"ZT')- > 



Supposons que l'un de ses coefficients, B,2 par exemple, soit ^o. On 

 déterminera aisément une substitution orthogonale qui n'altère pas n et 

 réduise n, à la forme plus simple 



A,{x.f, —X,j:,) + n'a, 



A, étant une constante et U\ ne contenant plus les variables x, , .To,^,, ^j. 

 Si l'un des coefficients de H', n'est pas nul, on opérera de même, de ma- 

 nière à ramener finalement Ils à la forme 



A, (x,/, — a;, 7-2) + A^Cx.jj — a'3j,)+... -h às{^2fri?-> —^■2p-if2f)- 



La réduction se trouve ainsi terminée, et l'on obtient cette proposition : 



M Un polynôme bilinéaire peut toujours être ramené, par une substitution 

 convenable opérée sur les deux s/stènies de variables x et j, à une forme telle, 

 quelle soit la somme de fondions bilinéaires de l'une des formes suivantes : 



x,j, + x.j-., + A(.r2j, - x,;-n), 



*^mj m "î" ^ n~2pj m "^m / fi—2p* 



