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étrangers, contient, outre des calculs et des équations identiques à celles 

 de M, Menabrea, plusieurs propositions très-remarquables pour déter- 

 miner les cas dans lesquels la règle de Lagrange doit s'accorder avec celle 

 de Cauchy ; il inoutre comment, dans ces cas, l'accord des deux règles 

 peut être démontré d'une manière complète. Il ne suffit pas, en effet, que 

 l'équation 



j/'(«+jr)-/(«+j) = o 



soit commune aux deux théories; il faut encore démontrer qu'on doit em- 

 ployer pour l'une et pour l'autre la même racine^ de cette équation; on 

 verra qu'il s'agit, en dernière analyse, d'un minimum de la valeur numé- 

 rique de l'expression 



y 



et que ce minimum existe toujours et correspond à une certaine racine 

 réelle de la même équation. 



» Mais l'accord des deux théories est loin d'être général. En effet, les 

 équations (ii), (12) et(i3) de la Note de M. Menabrea supposent qu'on 

 cherche le maximum de la fonction ]S (maxinnun par rapport aux variables 

 p., V, ?:,..., minimum par rapport à la variable y), tandis qu'on a besoin 

 de déterminer le maximum de sa valeur numérique, ou, si l'on veut, de son 

 module; el, tandis que, dans la théorie de Cauchy, la racine y de l'équa- 

 tion auxiliaire devra le plus souvent être choisie parmi les racines imagi- 

 naires, dans la théorie de Lagrange, on doit toujours choisir une racine 

 réelle. Si, par exemple, y (j:) est une fonction entière à coefficients réels, il 

 faudra, avant d'appliquer ces équations (i i), (12), (i3), rendre tous posi- 

 tifs les coefficients, puisque sans cela le calcul ne conduirait pas à un 

 maximum numérique tel que Lagrange voulait l'obtenir. Ainsi l'équation 



proposée 



X = u + j[x) 



(je réduis q à i pour plus de simplicité), dans la théorie de Lagrange, doit 

 être remplacée par 



X r= u -\- v^[x), 



si Ç'(j^) est ce que devient f {x) lorsqu'on rend tous les termes positifs; et 

 l'on arrive à cette conséquence curieuse, que la condition de convergence, 

 suivant la méthode de Lagrange, est la même pour ces deux équations dif- 

 férentes : on n'a plus, pour la première, comme dans la théorie de Cauchy, 



yj'{ii + r)-J{u + 7-) = o. 



