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 mais bien 



J'f'{"- -^ t) — 'f (« + j'^ = o» 



et toute identité des deux règles disparaît. 



» Sans la préparation indiquée, on peut dire, non-seulement que les 

 résultats conviennent à telle ou telle racine de la proposée, et non à telle 

 autre, mais qu'ils sont ou tout à fait insignifiants ou absurdes. On en a un 

 exemple frappant dans l'application de la règle de Lagrange au problème 

 de Kepler : dans ce cas, les quantités u, p., v, t:,..., et v sont réelles; par 



conséquent ;• = -; est aussi réel, et sa valeur est déterminée par l'équa- 

 tion 



Y cos [u -\-y) — sin (m + j) = o, 



qui a un nombre infini de racines réelles; mais on a 



/•/ \ ■ TT <sin ( « + r) , , 



f [x) — t ?,\n X , N= — — — — tco?,[u-{' y). 



Ainsi N ne peut surpasser t en valeur numérique, en sorte que la série serait 

 convergente toutes les fois que t n'excède pas l'unité; or on sait que, 



pour la valeur particulière u = -> la série devient divergente dès que l'ex- 

 centricité t surpasse o,663, et l'on ne peut obtenir les résultats connus 

 qu'en faisant /y/— i— /', et supposant que celte quantité imaginaire r est 

 réelle, positive et plus grande que l'unité (*). Si, au contraire, on fait le 

 changement indiqué en remplaçant sin x par ^ [e^-he~^), on trouve pour la 

 même valeur de u une excentricité inférieure à o,i54, résultat qui n'est 

 rien moins qu'absurde, mais qui diffère beaucoup de la limite connue. 



D'un autre côté, en posant u =^ -■> jt = ^ z, on transforme l'équation 



proposée en z = — t cos z, et en appliquant à celle-ci la règle de Lagrange, 

 après avoir remplacé cos z par ^ (e* + e~*), on trouve identiquement le 

 résultat de Laplace et Cauchy. La règle de Lagrange n'est donc pas géné- 

 rale. 



» D'après le même article, « quelques auteurs ont été mal fondés en 

 » voulant opposer la théorie de Cauchy à celle de Lagrange, pour dé- 

 » tnontrer que cette dernière était inexacte ». Parmi ces quelques auteurs, 

 il faut placer, en première ligne, Cauchy lui-même, comme le montrent 

 ses Rapports sur les Mémoires de M. Chiô et les Notes jointes à ces Rap- 



( *) \ oir Miiii. Accad. dt Toririo, 2" série, t. VIII, p. laS. 



