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» Supposons maintenant que l'intégrale générale ne soit pas uniforme 

 en {x, X) ; alors il peut y avoir des intégrales particulières de telle nature. 

 Cherchons à préciser les types d'équations (i) pouvant admettre de telles 

 intégrales. 



» Toute intégrale singulière j = ©(ic, X), annulant Pj et par suite j, 

 doit être une constante et réciproquement. Si toutefois y ^ © annulait Pj 

 ou P3, ce serait un lieu de points critiques de l'intégrale. 



» Ceci étant, si le nombre total de valeurs distinctes y, = «p,(a7, X), qui 

 ou bien annulent P, ou bien annulent P, sans être constantes, dépasse 

 deux, toute intégrale uniforme en {x, X) est rationnelle en (x, X). En effet, 

 toute intégrale qui pour x = x^ prend la valeur (p,(a-o,X(|) admet x^ 

 comme point critique, sauf pour certains points x^ exceptionnels en 

 nombre fini. L'intégrale j', supposée uniforme en (ar, X), ne peut donc 

 être égale à «p,, Ço, ©3 que pour des valeurs exceptionnelles de x en 

 nombre fini et le raisonnement s'achèvera comme dans le cas de l'équa- 

 tion du premier degré, dont nous nous sommes occupé dans une Note 

 antérieure ('). 



» Désignons par X le nombre de valeurs y,= <p,(a^, X) qui annulent Pj 

 sans être des constantes. Pour que l'intégrale puisse être uniforme en 

 (x, X) et transcendante, il faut, d'après ce qui précède, que >. = o, i , 2. 



» Soit d'abord 1 = o. P^ est alors polynôme enyà coefficients constants, 

 soit «>>(/)• Si j' est une intégrale uniforme transcendante en (x, X), le ra- 

 dical 



s^{y) 



P,(^.X,7) 



l'est également. Pour qu'il en soit ainsi, il faut, d'après un théorème de 

 M. Picard, que la courbe z'" = ô)(j) soit du genre o ou 1. (En particulier, si 

 m = 2, le polynôme t3(j') doit être d'un degré inférieur à 5.) D'autre part, 



le nombre de valeurs de j' qui rendent infinie -r- (y compris la valeur jy =30), 



ne peut pas dépasser deux; par conséquent, l'équation doit être de la forme 



dx (7 — cpi)/-,(y — <pj)*/ 



et l'on aura une relation entre les degrés du numérateur et du dénomina- 

 teur en tenant compte de ce que 2 = ne peut pas être une intégrale de 



(') Comptes rendus, 11° 22; 1894. 



