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de ces tranches. A l'aide de la table, préalablement construite, des puis- 

 sances n""^^^ des neuf premiers entiers, prenons le plus petit de ces entiers 

 dont la n""^^ puissance soit supérieure au nombre formé par la dernière 

 tranche de gauche. Désignons-le par a. Il est clair que A est inférieur à 

 a" X lo"'' et par conséquent y'A inférieur à ocX io'\ Appelons 1 ce dernier 

 nombre, ou, d'une manière générale, tout autre nombre entier dont la 

 puissance n"'"* soit supérieure à A, sans trop en différer. 



» Supposons d'abord que A soit exactement la puissance n'<^"»« d'un 

 nombre entier a et proposons-nous de trouver le nombre entier h qu'il 

 faudrait retrancher de 1 pour obtenir a. D'après le principe rappelé plus 

 haut, les différences successives de la suite des nombres a", (a -+■ i)", 

 /a-\-2.)", . . ., {a -\- h — i)", (a + A)" = V vont en croissant. Si donc on 

 divise D, = V — A par la plus grande de ces différences, c'est-à-dire par 

 df = V — ("X — i)", le quotient entier y,, à une unité près par défaut, sera 

 inférieur à h, à moins que y, ne soit rigoureusement égal à l'unité, c'est- 

 à-dire D, égal à d^. On aurait, en effet, dans ce cas, h^^ q^^^i et \ — i 

 serait la racine cherchée. 



» Admettons qu'il n'en soit pas ainsi. Retranchons y, àe\. Le nombre 

 obtenu 1 — y, sera supérieur à \/A. En raisonnant comme tout à l'heure et 

 en divisant D.j = (X — g', )" — A par d., = (a — y , )" — (X — q^ — i)'% on ob- 

 tiendra comme quotient, à une unité près par défaut, un nombre entier (j., 

 qui, retranché de >. — y,, donnera un nombre encore supérieur à la racine 

 cherchée, mais en différant moins que le précédent. On recommencera, 

 en partant de ce nouveau membre, les opérations déjà indiquées et l'on 

 continuera ainsi jusqu'à ce que l'on arrive à trouver un dividende D, et un 

 diviseur r/, qui soient égaux. La racine cherchée sera exactement égale à 



» Supposons maintenant que A ne soit pas la puissance «'*™® exacte d'un 

 nombre entier a. En procédant comme nous l'avons indiqué, on arrivera 

 finalement à trouver un dividende D, inférieur au diviseur f/, correspondant. 

 On en conclura que le nombre 1 — g^ — g^ — ... — y,_, est le plus petit 

 nombre entier dont la n''^'"'' puissance soit supérieure à A, c'est-à-dire que 

 \ — ry, — g.2^- • — gi-t — ï est la racine /i'"'"® de A, à une unité près par 

 défaut. Le reste de l'opération est d'ailleurs égal à d^— D,. 



» 3. Donnons une application numérique. Soit à extraire, à une unité 

 près, la racine cubique du nombre A = 9^728513. Cette racine aura trois 

 chiffres et le chiffre des centaines sera 4. On pourra donc prendre pour 



