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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un problème relatif à la détermination des 

 intégrales d'une équation aux dérivées partielles . Note de M. E. Goursat, 

 présentée par M. Appell. 



« Quand on se propose de déterminer une intégrale d'une équation du 

 second ordre 



(i) Y{x,y,z,p,q,r,s,l) = o, 



passant par deux courbes données quelconques C, C, ayant eu commun 

 un point O, et représentée dans le voisinage de ce point par une équation 



-- ■-=^{x,y), 



on <^{x, j) est une série entière convergente, on est conduit, pour calculer 

 les valeurs des dérivées successives au point O, à des systèmes d'équations 

 linéaires qui déterminent en général sans ambiguïté toutes ces dérivées. 

 L'examen de la convergence des développements ainsi obtenus exige des 

 discussions assez délicates que je n'ai pas encore terminées. Je me propose 

 seulement de signaler dans cette Note quelques résultats curieux relatifs à 

 la discussion des équations linéaires qui déterminent les coefficients. 



M Imaginons que nous ayons pris le point O pour origine et pour plan 

 des xy le plan des deux tangentes aux deux courbes données. Ce plan est 

 évidemment tangent à la surface cherchée, de sorte que l'on a, pour l'ori- 

 gine, p =^ o, g =^ o. Pour calculer les dérivées suivantes, nous emploierons 

 les lettres d elZ pour désigner les différentielles de x, y, z, prises le long 

 des courbes C et C respectivement. Alors les dérivées secondes r, s, t doi- 

 vent vérifier l'équation (i) et les deux relations 



[ d-z =^pd-x -{- qd-y -h rdx" -+- isdxdy -{- tdy-, 

 ^^^ ]l-z =pl-x^ql-y + rlx- -r-islxly + t}>y-; 



d'une manière générale, les dérivées d'ordre n sont déterminées en fonc- 

 tion des précédentes par un système de {n -\- i) équations linéaires, dont 

 les (« — i) premières s'obtiennent en différenliant i^n — 2) fois l'équation 

 proposée, et dont les deux dernières expriment que la surface cherchée a 

 un contact d'ordre n avec chacune des deux courbes C, C. Le déterminant 



