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 des coefficients des inconnues dans ces Çn + i) équations est 



dx" ndx"-'dj' "^"~''' dx"--dy- 



^x" n Sic"-' ly 



R S 



o R 



"(" — ') S^« 



Sx"- 2 Iv- 



en posant 



R 



57' 



S = 



T 



S 



d¥ 



T 



T = 



R 



dt ' 



dy" 



o 

 o 



T 



» L'expression de ce déterminant se simplifie avec un choix particulier 

 d'axes de coordonnées; les valeurs de r,s, t étant obtenues au moyen des 

 équations (i) et (3), les coefficients angulaires des tangentes aux deux 

 caractéristiques issues du point O sont racines de l'équation 



Rm-— S/?2 + T = o; 



si l'on a pris pour axes de coordonnées ces deux tangentes elles-mêmes, 

 on aura, pour les valeurs initiales de x, y, z, p, q. 



R 



o. 



T = o, 



de sorte que le déterminant A se réduit ici à 



S"-'\{dxly)" - {}xdy)"]. 



» Laissons de côté le cas où S serait nul et où par conséquent l'équation 

 qui donne les caractéristiques serait indéterminée, on voit que le déter- 

 minant A ne pourra être nul que si le rapport^- : ■-- est une racine de 



l'unité. En revenant à des axes de coordonnées quelconques, on arrive 

 donc à la conclusion suivante : Pour que les équations linéaires qui déter- 

 minent les valeurs des dérivées successives au point O soient incompatibles ou 

 indéterminées , il faut que le rapport anharmonique des tangentes aux deux 

 courbes C, C, et des tangentes aux deux caractéristiques issues du point O, 

 soit une racine de l'unité. 



» Lorsque les deux courbes C, C sont réelles, on arrive à des résultats 

 tout différents, suivant que les caractéristiques de l'équation (i) sont 



