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 respondre à o non un point unique, mais une « courbe fondamentale » uni- 

 cursale de degré [j.. 



» II. Lorsque co est un point r^'P'", sans autre particularité, pour une courbe 

 algébrique A, le degré de la courbe image de A s'abaisse de [hi unités. 



» Que deviennent ces énoncés quand on ne fait aucune hypothèse spé- 

 ciale sur les allures de T^. et de A au point o/? La question ne paraît pas 

 encore a von* été examinée. J'en donne ici la solution, en généralisant un 

 peu le problème. 



» Prenons dans un espace E^., à /• dimensions, des coordonnées homo- 

 gènes Ey (y = t). I, ••-, r), et dans un plan e les coordonnées ordinaires 

 X et y. Les équations 



(p = facteur de proportionnalité; fj = polynôme) 



définissent les coordonnées du point E, image du point ^, (^x, y). Quand C 

 parcourt e, son image parcourt dans E,. une variété unicursale à deux 

 dimensions E. L'image A d'une courbe algébrique A de e est une variété 

 à une dimension (courbe), située sur E. Pour A algébrique, le degré 

 de A est le nombre de points où elle perce l'hyperplan 



bj^j^o, 6y=const. arbitr. 



» Traitons les deux problèmes suivants : 



» 1" Quelle est l'image d'un point «> (par exemple l'origine x ^y = o), 

 oi^i les /•+ I polynômes/^ s'évanouissent, ou « fondamental »? 



» 2° Quel est l'abaissement du degré pour A, lorsque A passe par le 

 fondamental (o? 



» La courbe générale r^ du système 



(o) ^<^j/j{^'y) = o 



i 

 passe par w et y comporte divers cycles (au sens d'Halphen), tels que C, 

 dont l'équation est 



7 = e(a;"), 



n étant l'ordre de C et 0(u) un développement holomorphe par rapport à 

 l'argument //. 



