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une équation de cette nature. Si l'on y fait la substitution v = c, / zdx, c, 



étant une intégrale quelconque, puis que dans la transformée on pose 



z = (', / tdx, v.^ en désignant une solution, et ainsi de suite, on arrive à une 



équation du premier ordre admettant l'intégrale méromorphe v,n. Quelles 

 que soient les constantes d'intégration, les m fonctions 



(i) J< = ^t» V2 = (', /('af/.r, ..., y^^=<,\jv.dx...jv„ 



dx 



constituent alors un système fondamental, et l'on sait que la décomposition 

 corrélative de P(/) est 



A,- = -r Log(v, (•„... v>) (j = 1 , 2, 3, . . . m). 



, dx '") V dx '"-' ) ■■•\dx - ) \dx 



OÙ l'on a 



4 . — 



dx 



Quels sont les caractères des coefficients A des facteurs? 



» D'abord les A, étant les dérivées logarithmiques de fonctions méro- 

 morphes, sont eux-mêmes méromorphes, et en outre, leurs pôles sont tous 

 des pôles simples, à résidus entiers. Si donc a désigne un pôle de l'un au 

 moins de ces coefficients, on a, dans l'entourage de ce point, 



A,= ^^ + 9;(^) («=:i,2,3, ...m), 



a, étant un nombre entier positif, nul ou négatif, et o\{x) désignant une 

 fonction régulière au point a,, que je regarderai comme la dérivée d'une 

 fonction pareille 9,(^1")- 



» Mais les coefficients A satisfont à d'autres conditions qu'il est facile 

 d'obtenir. 



» Observant que, dans le voisinage d'un de leurs pôles a? = a, on a 



j'en conclus que l'exponentielle du premier membre est méromorphe 

 dans tout le plan et appartient en a. à l'exposant a, — «,_,, de sorte que 

 ses pôles sont ceux des pôles des A, pour lesquels le résidu de A, est 

 moindre que celui de A,_, . 



» Cela posé, exprimons que chacune des intégrales fondamentales (i) 



G. R., 1S95, 2» Semestre. (T. CXM, N° 20.) 9^ 



