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est méromorphe. Comme on a 



qui sont précisément les exponentielles précédentes, on considérera, rela- 

 tivement à Yi, les fonctions successives 



(3) ^ 



g/,A,-A,)rf.- Çef "'-'■■""' dx f. . . fel'^'-'''-'"'' dx ; 



on saura trouver, parmi les pôles des A, ceux qui sont pôles d'une ou de 

 plusieurs d'entre elles, et il suffira d'écrire que les résidus correspondants 

 sont nuls. En opérant ainsi sur r^., y.^, . . ., y,„, on obtiendra pour tout pôle 



, , , , ... . . , , m(m — I ) , 

 des A un nombre de conditions qui peut varier de o a > et que je 



représenterai par 



(R,, = 0, R,, = 0, ..., R,.,„, = o 



î (i — 1,2., 3, ... , m) 



(4) 



ces équations pouvant être satisfaites d'elles-mêmes en totalité ou en partie. 

 Elles sont indépendantes des constantes d'intégration. En choisissant ces 

 constantes de façon que, en un pôle a des A, les intégrales (3) appartien- 

 nent respectivement aux exposants 



a, — ai_,, Ui— ai_2-\- i, ..., a,— a, + i — :>, 



on voit que, pour i = i , 2, 3, . . . , w, aucune de ces quantités ne pourra 

 être égale à — i. Les équations (4) établissent des relations algébriques 

 entières entre les coefficients des séries ©'(•^)- ^" particulier, si l'on dé- 

 signe par — n, la différence a, — «,_,, la condition R,, = o sera satisfaite 

 d'elle-même lorsque n^ sera nul ou négatif; elle s'exprimera par 



n,:^i avec (-£^e^.<-^)-^-.'-)^ 



lorsque n, sera positif. 



» D'après cela, si l'équation P(y) est telle que l'intégrale générale soit 

 méromorphe, elle peut se mettre sous la forme composée (2), oîi les coef- 

 ficients A sont méromorphes, n'admettent que des pôles simples à résidus 

 entiers et satisfont aux conditions (4)- 



» Réciproquement, toute expression (2), où les A possèdent ces pro- 



