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 en accentuant les nouvelles valeurs des rotations, 



cl II de 



du f/f 



/'.=/' 77^' ^P^-dV- 



et quatre autres analogues, d'où l'on déduit immédiatement que les 

 seconds membres des équations (i) sont simplement multipliés par le 

 déterminant fonctionnel de la substitution 



, , , , ^ / du dv du de \ 



» Ces trois binômes constituent donc trois invariants relatifs à l'en- 

 semble des positions du trièdre. Interprétée géométriquement, cette 

 propriété d'invariance conduit au résultat suivant, qui du reste pourrait 

 être établi géométriquement de la manière la plus simple : 



Soient OR et OR' les axes instantanés de rotation du trièdre quand u 

 ou V varie seule, définis par les points dont les coordonnées sont, dans 

 le trièdre mobile, p, g,r et p,,gf, r,. Le point qui a pour coordonnées les 

 trois invariants définit une droite OP, perpendiculaire au plan ORR', 

 laquelle reste invariable dans le trièdre quand on fait un changement de 

 variables. La rotation autour de cette droite OP est nulle, quelle que soit 

 la relation qu'on établisse entre les deux variables "u et c, de sorte que 

 cette droite peut être appelée un axe de rotation nulle, présentant ainsi 

 une certaine analogie avec l'axe instantané de rotation, ou axe des vitesses 

 nulles dans le déplacement dépendant d'une seule variable. De même 

 que, dans ce dernier cas, le déplacement du trièdre peut être défini par le 

 déplacement de l'axe instantané à son intérieur, de même, dans le cas de 

 deux variables, le déplacement du trièdre peut être défini par le déplace- 

 ment à son intérieur de l'axe de rotation nulle OP. J'ajouterai que la 

 longueur de cet axe est l'aire du parallélogramme construit sur les deux 

 axes de rotation OR et OR'. 



» Il est fort aisé de démontrer les propriétés suivantes : 



» Si deux des invariants sont nuls, le troisième l'est aussi, et alors la posi- 

 tion du trièdre ne dépend, en réalité, que d'un seul paramètre. 



Il est impossible que les trois invariants soient proportionnels à trois nombres 

 constants sans être nuls tous les trois, ou, en d'autres termes : 



» L'axe de rotation nulle ne peut conserver une direction invariable dans 



