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 récemment, et j'ai développé, avec quelques détails, dans les Comptes 

 rendus (^8 octobre 1894), les deux théorèmes fondamentaux de cette théorie. 

 En traitant cette question dans mon cours de la Sorbonne, je m'aperçois 

 qu'une équation auxiliaire, jouant un rôle essentiel, est défuiie dans cette 

 Communication d'une manière trop particulière qui pourrait conduire à 

 restreindre la notion de groupe de transformations. 



» En nous bornant ici aux équations à coefficients rationnels, considé- 

 rons l'équation 



y s d"'Y d"'-^Y 



» Nous considérons une fonction V qu'on peut réduire à la forme 



V = u,y,-hu.,y.,+...-\-u,„y„„ 



les u étant des fonctions rationnelles arbitrairement choisies de a-, et les y 

 désignant un système fondamental d'intégrales. Celte fonction V satisfait 

 à une équation d'ordre m' 



(^) 5^+^'SP^+ .. + P,„,V=o, 



les P étant rationnelles et les y s'exprimant linéairement en fonction de V 

 et de ses dérivées. A toute intégrale de (2) correspond un système d'inté- 

 grales fondamentales de (i), à moins que V ne satisfasse à une certaine 

 équation facile à former 



k étant au plus égal à m} — \. 



» En général, c'est-à-dire si l'équation (i) est prise arbitrairement, l'é- 

 quation (2) n'aura aucune solution commune avec une équation différen- 

 tielle algébrique (linéaire ou non linéaire) d'ordre inférieur à ni^ , si l'on 

 fait abstraction des solutions qui satisfont à l'équation cp. 



» Mais il pourra dans certain cas en être autrement. Supposons donc 

 que l'équation différentielle algébrique d'ordre /; 



(4) f{-'^-%-'^)=- 0X-) 



ait avec (2) une solution commune n'appartenant pas à tp. J'ai supposé 

 (article cité) que cette équation était irréductible, c'est-à-dire n'avait au- 

 cune solution commune aveo une équation d'ordre moindre. Cela n'est 



