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 pas nécessaire; il suffit de considérer, parmi toutes les équations algébri- 

 ques telles que (4), celles qui sont à' ordre moindre et de prendre l'une 

 d'elles que nous continuerons à désigner par /. On peut d'ailleurs admettre 



que l'équation / est algébriquement irréductible par rapport à ^^; il est 



clair alors que toute solution de /, qui n'appartient pas à ç, satisfait à (2), 

 car autrement cette solution satisferait à une équation d'ordre inférieur 

 kp. 



» Tous les raisonnements faits dans l'hypothèse plus particulière que 

 j'avais adoptée subsistent intégralement, et c'est ainsi qu'on est conduit, 

 de la manière la plus satisfaisante, à la notion de groupe de transformations 

 d'une équation linéaire, groupe qui est entièrement l'analogue du groupe 

 de Galois pour une équation algébrique. On trouvera le développement 

 complet de cette théorie dans le dernier fascicule du Tome III de mon 

 Traité d'Analyse. 



» 2. Les considérations précédentes ne sont pas bornées aux équations li- 

 néaires, quoiqu'elles conduisent pour les équations non linéaires à des 

 résultats beaucoup moins simples. Considérons une équation algébrique 

 d'ordre quelconque 



Fr..v,$^,...,î^Wo. 



, / dy d'"y\ 



» Soit 



V = R(7,,72 y^-) 



une fonction rationnelle arbitrairement choisie de jx intégrales quelconques 

 j,, y,, y^ de l'équation précédente. On peut former l'équation diffé- 

 rentielle d'ordre mtx à laquelle satisfait V, équation que nous désignerons 

 par E. On aura d'ailleurs pour les y des fonctions rationnelles de V et de 

 ses dérivées. 



» Si l'équation F est arbitraire, l'équation E n'aura aucune intégrale 

 commune avec une équation algébrique d'ordre moindre, si ce n'est avec 

 certaines équations faciles à former et provenant de la supposition que 

 dans V deux ou plusieurs intégrales y sont identiques; nous désignerons 

 par (p l'ensemble de ces équations. 



« Si l'on quitte le cas général, il peut arriver que E ait une intégrale 

 commune, n'appartenant pas à ç, avec une équation différentielle algé- 

 brique d'ordre moindre; soit 



/(-' V' ^ 



rfV dp\\ _ 



.r dxP j 



