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» L'approximation serait près de dix fois supérieure à celle du calen- 

 drier grégorien. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'équation de Lamé. Note de M. G. Flo- 

 QUET, présentée par M. Darboux. 



« Soit une équation différentielle linéaire, homogène, à coefficients 

 elliptiques, de mêmes périodes 2w et 2co'. Je me propose ici de développer 

 sur un exemple simple une méthode qui, dans certains cas, permet d'ob- 

 tenir aisément les conditions d'uniformité de l'intégrale générale, puis son 

 expression sous forme explicite. Je prends pour exemple une équation du 

 second ordre, admettant un seul point singulier x = cl dans le parallélo- 

 gramme des périodes. 



)) Considérons une pareille équation. Si ses intégrales sont niéromorphes, 

 elle peut se mettre sous la forme 



(') (e -^.) (s -^0-'-= £ -(■^■--'■>ê + C^. '=-- '^).'=- 



où A, et Aa sont des fonctions elliptiques de x, aux périodes 20 et aw', 

 n'ayant que des pôles simples, à résidus entiers, et satisfaisant, pour cha- 

 cun (le ces pôles, à la condition R,, = o('). J^es pôles des A, situés dans le 

 parallélogramme des périodes, sont d'abord le pointa, puis m pôles propres 

 [3, , p., . . ., [i„. Comme les résidus de A, et de A, relatifs aux [î sont respec- 

 tivement + 1 et —I, et que les deux sommes de résidus sont nulles, on a 



^ ^-^ i A, = + m{i{x - d) — [{{x - '^, ) - ... - (,-(.r — ;i,„) -4- r„, 



m étant un entier positif, r^ et r.> des constantes quelconques, et (,' désignant 

 la fonction <^x construite sur les périodes 2(o, 2uj' pour px. Il reste à 

 exprimer la condition R^, = o pour chaque pôle des A : or pour a elle est 

 satisfaite d'elle-même, et pour fi, elle équivaut à l'égalité des termes con- 

 stants de A, et de Ao dans les séries en x — ^, qui les représentent autour 

 de ce point. On a ainsi les m équations 



(3) 2/;2g(p,-a)-2Vg(p._ri^.)+r, -r, = 0, («"=.,2 m). 



I 



oh /prend les valeurs i, 2, .... m, sauf la valeurs. Toute équation de la 



(') Comptes rendus, séance du 11 novembre i8g5. 



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