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nature supposée, dont l'intégrale est méromorphe, peut donc toujours, 

 d'une manière au moins et ordinairement de deux, se mettre sous la 

 forme (i), où les A s'expriment par les formules (2), avec les condi- 

 tions (3). La réciproque est manifestement vraie, de sorte que, sous les 

 conditions (2) et (3), l'équation (i) constitue une expression générale de 

 ces équations à intégrales mérotnorphes. 



» Cela posé, soit donnée une équation différentielle linéaire, homogène, 

 du second ordre, à coefficients elliptiques de périodes 210, 210', et n'ad- 

 mettant que le seul point singulier a dans le parallélogramme des périodes. 

 Je dis que, pour que ses intégrales soient méromorphes, il faut et il suffit 

 qu'elle soit de la forme 



<^^) £~ 2H^^-[K-/^(« + .)p(•^-*)b' = "• 



n étant un entier positif, H et R des constantes quelconques, et la fonc- 

 tion p étant construite avec les périodes 2w et 2co'. 



» Que cette forme soit nécessaire, c'est à peu près évident, puisqu'on 

 doit pouvoir identifier avec (i), les conditions (2) et (3) étant remplies. 

 Pour établir qu'elle est suffisante, il suffit de montrer que l'on peut tou- 

 jours déterminer un entier positif /n, et les constantes r, , r^, P,, pa» • • •» Pm» 

 de façon que (4) soit identique à (i), sous les conditions (2) et (3). Or, 

 l'identification donne d'abord m = /?, puis des équations qui, avec (3), se 

 ramènent facilement aux suivantes 



(5) 



( r, = n- g(a — PO - ç(^>- - p.) -.. .- y(« - W- 



I ,-, = [1 + (j(a - p,) + (J (a - p,) -t- . .+ Ç(a - p,), 



(G) p(^- -l^O + jH ='-- P.) +••• + , P(='-P«)=fJ^- 



(7) 2,p(a-p,)-p(.-p,) -" (.-i.2,...,/0 



/ prenant les valeurs i, 2, ..., ^, à l'exception de la valeur i. Ces équa- 

 tions sont bien connues : ce sont celles que l'on rencontre lorsqu'on in- 

 tègre, par la méthode habituelle, l'équation de Lamé 



g = [n(n + J)p(x - a) -^ W - Iv]r, 



à laquelle on ramène d'ailleurs l'équation (4) en posant y = e"'"s. On sait 

 comment les n équations (7), qui se réduisent à n — i, déterminent avec 

 (6) les quantités p,, en donnant toujours pour elles au moins un système 



