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 » Aux variables x,, ..., .r,j, je substitue les variables x , a;,,_„; 



» J'aurai les formules 



^^-^ ■ dx, ~ '"'^ >.-*-'.-.'"+ Zi "^ .'•„-.+p+' >.. ~d:?7~' 



p = l 



d'où 



p=l 

 (/c = I, 2, ...,/? — i; a, H-...+ =c„= X:; i = I, 2, ...,n — -; y = 1, 2, ...,7r). 



» Je différentie les équations (i) par rapport à yn-K+q en tenant compte 

 de (2), (3) et (4), et j'annule les coefficients de 



^^ et -y^ — ^J pour p = !, 2, ..., 7ï, 



et je poursuis enfin cette opération pour </ = i , 2, . . ., tt. 

 » J'obtiens ainsi les relations 



o, 



(p = I, 2, ...,7i; y = 1,2, ...,/i — tu). 



» Différentiant maintenant toutes les équations du système primitif par 



rapporta x,, x._, a?,,^^ successivement, et adjoignant les relations (2), 



je vois que ^„_„^_,, ...,x„; z, ..., sj,^',..,a„ sf>"t définis en fonction de 

 ^1» • • •> ^n-n pi*r "n système du premier ordre, de la forme de ceux dont 

 M. Lie a ramené l'intégration à des équations différentielles ordinaires. 



» Ce système définit un ensemble de multiplicités M„_„ formées d'élé- 

 ments unis; je propose de les appeler multiplicités caractéristiques du sys- 

 tème proposé. 



