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» Le support d'une multiplicité caractéristique est une multiplicité 

 ponctuelle kn — T. dimensions, qui joue le même rôle que les multiplicités 

 analogues que l'on rencontre dans la théorie des équations du premier 

 ordre. 



» Nous avons donc établi-le théorème suivant : 



» Étant donné un système complètement intégrable définissant z en fonc- 

 tion de x^ . . ., x^el tel que toutes ses équations ont été amenées à être du 

 même ordre p, si la différence entre le nombre des dérivées d'ordre p de z et le 

 nombre de ces équations est inférieur au nombre des variables, la méthode de 

 Cauchy est applicable et le système jouit des mêmes propriétés que les systèmes 

 d'équations aux dérivées partielles du premier ordre. 



» Dans le cas contraire, on devra employer la méthode de M. Darboux 

 pour compléter le nombre des équations. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions de deux variables réelles et 

 sur la notion de fonction arbitraire. Note de M. Emile Bobel, présentée 

 par M. Darboux. 



« Dans ma Note du 12 février 1894, j'ai appelé l'attention sur les fonc- 

 tions d'une variable réelle admettant dans un intervalle donné des dérivées 

 de tous les ordres, sans être analytiques. ]'ai indiqué pour ces fonctions 

 un développement en série tel que les dérivées de la fonction s'obtiennent 

 en dérivant la série terme à terme. La démonstration de ce résultat a paru 

 dans ma Thèse. 



» J'ai étendu ce théorème à une fonction de deux variables réellesx, j 

 admettant des dérivées partielles de tous les ordres dans un rectangle, 

 par exeiiiple dans le carré défini par les inégalités 



— •n;<a7<-l--, — t= = J = + "- 



» Une telle fonction peut être développée en une série de la forme 



'S'S^„„^co%mxco?>ny-J^ B„„ sinmjjcosnj -i- C^n^^'" cosny 



m n 



-H A^,„ cosma7sin«y -t- B^„„ ?,'n\mx?,\nny + C',„„a;'" s\nny 

 + A"„„ j" co'r.mx -f- \^"„,,,} " ^inmx -+- Cl^:,x"'y"- 



)) Il y aurait d'ailleurs des simplifications évidentes si l'on supposait la 

 foDCtion paire, ou impaire. De plus, et c'est là le point essentiel, le déve- 



