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loppement est convergent ainsi que toutes ses dérii>ées partielles (^prises, ternie 

 à terme) et ces dérivées représentent par suite les dérivées de la fonction, 

 dans tout le domaine considéré. 



» Ce résultat, qu'il serait sans doute aisé d'étendre à un plus grand 

 nombre de variables, permet de généraliser une méthode pour la repré- 

 sentation des fonctions arbitraires, dont j'ai donné une application dans 

 ma Note du 20 mars iSgS. 



» On est ainsi conduit à se demander si les notions de fonctions arbi- 

 traires analytiques ou non analytiques, d'une ou de plusieurs variables sont 

 réellement distinctes et, dans le cas de l'affirmative, en quoi réside essen- 

 tiellement leur différence, puisque la méthode dont il est question semble 

 ramener ces notions les unes aux autres. Je crois qu'il faut rechercher la 

 raison de cette différence dans l'étude approfondie des caractères de con- 

 vergence des séries qui représentent les diverses fonctions considérées. Il 

 y aurait lieu de déterminer dans quelle mesure ces divers caractères de 

 convergence peuvent être ramenés les uns aux autres. Je dois me contenter 

 de signaler ici ce sujet de recherches sur lequel je possède actuellement 

 trop peu de résultats 0. 



GÉOMÉTRIE. — Sur les systèmes orthogonaux. Note de M. Paul Adam, 



présentée par M. Poincaré. 



« M. Darboux a montré (Annales de l'Ecole Normale, 1878) que la so- 

 lution de la question suivante : Quelle est la surface qui, dans tous les mou- 

 vements possibles, engendre une famille de Lamé (c est-à-dire appartenant à 

 un système triple orthogonal?^ revient à trouver les solutions communes à 

 six équations aux dérivées partielles du troisième ordre en coordonnées 

 cartésiennes. 



» L'éminent géomètre a ajouté, dans les Leçons qu'il a professées à la 

 Sorbonne en 1891-1892 : Il est probable qu'il n'y a que la sphère qui réponde 

 à la question. 



» On peut établir facilement l'exactitude des prévisions de M. Darboux 

 en employant un système particulier de coordonnées tangentielles. 



» On peut même aller plus loin et démontrer que : 



» La sphère et le cylindre sont les seules surfaces qui, dans deux translations 

 rectilignes distinctes, que l'on peut (d'après ta théorie des systèmes triples 

 orthogonaux^ toujours supposer rectangulaires, engendrent une famille de 

 Lamé. 



