» Les équations (2) sont encore vérifiées, si l'on suppose 



» Mais si l'on différentie la première de ces équations par rapport à {i et 

 la seconde par rapport à «., puis qu'on retranche les deux résultats ainsi 

 obtenus, on obtient, en tenant compte des équations (3) elles-mêmes, 



r 



c'est-à-dire que r doit être nul, et l'on rentre ainsi dans l'hypothèse, 

 examinée tout d'abord, qui avait conduit à la sphère. 



» Par suite, en laissant de côté la sphère, les équations (2) entraînent 

 la suivante : 



(4) [s 



= rt. 



» On reconnaît sans peine que celle-ci a pour intégrale 



l = Xx't, ^ (a -I- |i)9('^ > - ^(-^) 

 avec 



o = a;i - (a + [i) 9'(A) - i'(A), 



(D el '\i désignant des fonctions arbitraires du paramètre A ; et que les coor- 

 données cartésiennes de la surface correspondante, définie par l'équa- 

 tion (i), ont pour expressions 



X 



ly^k, x-^iy = ^{k), ^ = 9(A). 



Cette surface se réduit donc à une courbe. 



)) Il semble, d'après ce résultat, que la sphère est la seule surface qui, 

 dans deux translations distinctes, engendre une famille de Lamé. Or cela 

 est inexact, car le cylindre jouit évidemment de cette propriété. Si on ne 

 l'a pas obtenu par l'analyse précédente, cela tient à ce que l'équation {l\) 

 est ce que devient l'équation aux dérivées partielles des surfaces dévelop- 

 pables, quand on passe des coordonnées cartésiennes au système (a, [i, \) 

 et que, dans ce dernier système, l'équation (4) ne peut représenter effec- 

 tivement les surfaces développables, puisqu'elle n'implique, comme il le 

 faudrait, aucune relation entre les variables a. et p. 



» Mais des considérations géométriques très simples montrent immédia- 

 tement qu'une développabJe qui, dans une translation, engendre une 



