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où les X sont des fonctions des>r. Considérons de plus l'intégrale d'arc 



(2) l — j {"E., dx , + 1.dx.,-\- . . . ~ Z„ (lx„), 



où les S/ sont des fonctions des x. Si, dans cette intégrale, on remplace les 

 iT par les valeurs d'inlégration, qui correspondent aux équations dilTéren- 

 tielles (i), l'intégrale I se présente comme une fonction de /. Il peut arriver 

 que cette fonction se réduise à une pure constante; alors I est un invariant 

 intégral. 



» Tout système d'équations tel que (i) admet une infinité de pareils 

 invariants intégraux. 



» Il est du reste aisé de former la condition pour que I soit un invariant 



intégral. Désignons par 0^ la forme linéaire Vi,û?a;,, et introduisant une 

 seconde espèce de différentielles, 8, désignons par 65 la forme ^ i,8a;,, 



i 



Formons maintenant l'expression bilinéaire 



( 3 ) 0^, s = d% - iQa = 2 ( (iS^i S^/ - dxi te,-) . 



i 



M II est clair que la condition pour que I soit un invariant intégral se 

 traduit par l'équation c/0s=o, où le symbole f/ s'applique aux variations 

 obtenues en ne faisant varier que la variable t, en sorte que dx^^ X^dt, 



dEi=^ x(Ei)dt, en posant, comme il est d'usage, -A,(E,) = 51-^*1~^" ^^^ 



k 



d'après l'identité (3), celte condition s'écrit encore 



(4) S0,/-r-e,;,5=o 



ou, en remplaçant les dx^, dE^ par leurs expressions, 



(5) s/2x,sA +2[-^(^')^^— X,-^S,] = 0. 



» Celte équation doit avoir lieu quels que soient les ^X/^. On en déduit 

 sans peine que l'expression suivante est une intégrale du système (r) 



(6)' --i-2x,2,. 



i 



» 2. Considérons actuellement la forme 0,;. On sait que, depuis Pfaff, 

 l'étude des formes linéaires de différentielles a été l'objet de nombreuses 



