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 recherches qui ont été reprises et précisées en 1882 par M. G. Darbouxdans 

 un Mémoire Sur le problême de Pfaff, inséré au Bulletin des Sciences malhé- 

 maliques. On démontre que toute forme linéaire 0^ est réductible à l'un ou 

 à l'autre des deux types suivants : 



(A) dy - z-, dy, — z^dy^-...- z^dy,. : 



(B) z,dy,+z._dy., + ... + ZpdYj,. 



» Les variables qui figurent dans ces formes sont des fonctions indé- 

 pendantes entre elles des variables primitives a;,, X2, ... , cc^. Il peut même 

 arriver que ces variables soient moindres que n, en sorte que l'on ait, 

 dans le cas (A), n = a.p -h i -h (J, et dans le cas (B), n = 2p -{- q. Alors, 

 en adjoignant aux variables qui figurent dans le type (A) ou le type (B) 

 q nouvelles variables u^, u.,, . . ., u^, nous formerons un nouveau système 

 de n variables indépendantes que nous pourrons substituer aux variables 

 anciennes a;,, x.^, . . . , a7„. 



» Il était naturel de se demander ce que deviennent les équations diffé- 

 rentielles (1) lorsque l'on introduit ces nouvelles variables. La réponse à 

 cette question est digne d'intérêt. L'application de la formule (5) prouve, 

 en effet, que, si la forme réduite de ©,; est du type (A), les équations (i) 

 se transforment dans les suivantes : 



/ „\ dzi dil ciy'i on. . . . 



(8) 



(9) W = ^' (i=i,2,...,q). 



» H est une fonction de j, , Ja. • • ■ . J/j. ^i, =j. • • • , =/,, mais ne dépend 

 pas de j, et les U sont des fonctions quelconques de toutes les variables 

 sauf /. 



» On est donc ramené au système canonique (7), suivi de la quadra- 

 ture (8) et enfin du système des n — 2p — ^ = q équations complémen- 

 taires (9). L'intégrale 12 [formule (6)] devient l'intégrale H, en sorte que 

 le fait que Q. est une intégrale apparaît comme une sorte d'extension de l'inté- 

 grale des forces vives. 



» Si la forme réduite est du type (B ), la variable y disparaît, ainsi que 

 l'équation (8); le système (1) se transforme dans le système canonique (7), 



