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 deiiK foiiclinns thêta des caractéristi(|ues fontlamenlales quelconques. Mais 

 l'on peut aller un peu plus loin, en introduisant des caractéristiques frac- 

 tionnaires et construire à l'aide de l'élément 



m 



la formule plus générale 



m =z — oc 



g7,'(.v,+>v,)*+2g'(/,-/,'„t,0 _^^, ; _j_ nw,,w,)@g',,'('i - n(T-',. Wi) 



(3) 



^^z{fJ^,m^-hhomll-{-^■„n'^]+mmzi^-2m(l,+/l]^zi-^^2n{•f\—g')^zi 



sl^o^e 



/m = iJ--h g-h g',n — 'j -hh' — h,\ 

 \ [X, V = O, drl, ± 2, .. . / 



La démonstration est tout à fait semblable à celle que Kronecker a déve- 

 loppée de sa formule dans les Sitziingsberichte de l'Académie des Sciences 

 de Berlin, de 1 883; je me borne donc à transcrire la formule, en employant 

 l'identité 



e^i, (a-, w) = eS^'-(s>-+2-'-+2'« o,^ (^ _^ ^ _,_ g.,^, | ^^^ . 



je pose ï-+-/i='7,, 'i-hh' — '^î, r,-r-,i,>- = t,, — yi-(-^'= t., et j'aurai l'équation 



, ^«,lT;.,.,+T|».,+2cr,(T,+ir,)l C.^ Ç^^ -i- T, ÇV, | W,) ^3 (l^ + T, W., \ W.,) 



(4) 



/ ^t^ —7:lao'ti'+f'uf"n-^-Can-\-hrnn':zi-h2Tlîiïnrj,~n1ii 



/ m = ly. + -r, H- T^, // = v -i- c, — c, , \ 



( -X, v^o, ±1, ±2, ±:3, ... /' 



dont Kronecker semble avoir eu connaissance. 



» J'aurais plusieurs choses analogues à vous présenter, auxquelles votre 

 encouragement m'a donné l'occasion de parvenir, mais en me les réser- 

 vant à un autre moment; c'est une application arithmétique que je viens 

 soumettre à votre jugement. Je considère le système complet de repré- 

 sentants (a, h, c) des formes quadratiques ax^ -+- bxy -+- cy^ du même dis- 

 criminant négatif h- —^ac^= — A, que je suppose fondamental et congru à 

 a suivant le module 8, de sorte que A a la forme 8[x + 3; sous cette hypo- 

 thèse les a, b, c seront impairs et l'application de la formule classique de 



