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 Dirichlet 



^ §{am- + bjiin + ^'ï') =2 (-7-) ^'(JiJi) 



m, n h, A 



/m, n =0, ±1 , ±2, ..., sauf m = «= \ 

 \ A, /• = i, 2, 3, ... /' 



qui consiste dans l'hypothèse ¥{x) — (—-iYe '^'^, donne immédia- 

 tement 



- -Tr{ mti^ + bmn -^^ en- \ 



Mn 



— A 

 (i7,6,c) m, n /i, k 



2 2(-0'""""'""^ ^^ =20^ (-0"^ ^^ 



» Or, la formule (i), dans le cas de c = t = o, fait voir que la somme 



2(— I )"'«+""+" e-''<''o'""+*o'""+^'") s'évanouit; en y mettant à part le terme 



/n ^ n = o, qui est égal à un, vous voyez que le premier membre de notre 

 dernière équation est autant de fois — i qu'il v a de représentants (a, h, c). 

 En convenant donc de représenter par C1(D) le nombre des classes corres- 

 pondant au discriminant D, j'aurai l'équation 



00 00 



(5) cK^A)=-ii:(^)(_,y.,-t=i:(î) '-"'"" % ■ 



' ' i-t-( — i)"-'e »/A 



A = 1 * = 1 /i = 1 



» Il n'est point difficile d'exprimer le deuxième membre à l'aide des 

 fonctions thêta, ce qui donne 



A-, -■ ' P 



(5) 2(0 Jp'-^\ =^-^'^-">-^" + ^v^^^-' 



P=' 'I ■ r- 



y = I pour A = 3 

 Y =: I pour A > 3 



» La même méthode permet d'évaluer celte somme pour les autres dis- 

 criminants fondamentaux; mais les résultats sont moins simples. » 



