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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les variétés unicursales à trois dimensions. 

 Note de M. Autonne, présentée par M. C. Jordan. 



« Je me propose d'étendre au cas à trois variables les propositions con- 

 tenues dans ma Note du 1 1 novembre iSgS. 



» Observons d'abord que, dans cette Note : 



)■ I. Rien n'est à changer à la solution de la question i", lorsque lesyy 

 ne sont plus des polynômes, mais des développements holomorphes, avec 

 /Xo,o)=o; 



» II. La question i° n'a plus de sens, mais les calculs restent possibles 

 et définissent, non plus un abaissement de degré, mais le nombre des zéros 

 communs, confondus en w, aux deux expressions holomorphes 



h{x,y), avec A(o, o)=o, et ^Cjfj{x, y), 

 Cj=z const, arbitr.; 



» III. Les équations d'une courbe fondamentale étant 



les coefficients du polynôme Xy en t sont des polynômes par rapport aux 

 coefficients du tronçon; ces derniers à leur tour sont des fonctions algé- 

 briques des coefficients dey^. 



» Passons maintenant aux cas à trois variables et aux équations 



p = facteur de proportionalilé, y) = polynôme ;y= o, i, 2,..., r. Le pointa, 

 ayant les \j pour coordonnées homogènes dans un espace E^ à r dimensions, 

 /•^ 3, est Y image du point ï,, ayant x, y, z pour coordonnées dans un espace 

 E3. Quand ^ parcourt E3, ^parcourt une variété unicursale à trois dimensions 

 S3. Sur S3 on trouve des variétés à une ou deux dimensions S, ou E^. Le 

 degré d'une Sj algébrique est le nombre des points où elle est percée par 

 l'hyperdroite 



^ ttj Ij — 2 bj Ij — o, ttj, bj = const. arbitr. 



c. R., 1895, 2' Semestre. (T. CXXI, N" 24.) 119 



