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 indiquer brièvement l'un fie ces résultats et faire connaître, en même 

 temps, sur un exemple simple, l'esprit de la méthode que j'aie suivie. 



» Désignons par oc un nombre incommensurable {'), tel que — étant 



l'une quelconque des réduites du développement de a en fraction continue, 

 l'on ait 



(i) |/n,— «,a|<e-'">"s 



et considérons la série 



<p(a;, y) —'^a'"'b"i cosm^ x cosniy, 



i 



dans laquelle a el b sont inférieurs à un. Les valeurs de m,, //, croissant 

 très rapidement avec i, on conclut aisément d'un théorème de M. Hada- 

 mard que la fonction © n'est, en aucun point, une fonction analytique de x 

 et de y. 



» Posons, d'autre part. 



Il résulte immédiatement des inégalités (i) que la fonction '} est holo- 

 morphe dans tout le plan de chacune des deux variables a? et j, caria série 

 à triple entrée obtenue en remplaçant dans i|/ les cosinus par leurs dévelop- 

 pements de Taylor est absolument convergente, quels que soient x et y. 



» Supposons maintenant que nous considérions a priori l'équation aux 

 dérivées partielles (2), dans laquelle <]j est une fonction donnée admettant 

 la période 2tc par rapport à x et à y, et que nous nous proposions d'en 

 trouver une intégrale cp admettant la même période et continue, ainsi que 

 ses dérivées pour toutes les valeurs réelles des variables. Suivant la nature 

 de la fonction 1^ et de la constante a, le problème pourra être possible, 

 impossible ou indéterminé ; ce n'est point ici le lieu d'en faire une discus- 

 sion détaillée, mais un fait important résulte de ce qui précède : pour cer- 

 taines valeurs de a, on peut se donner pour ^ une fonction analytique et 

 trouver, comme unique solution pour <p, une fonction non analytique. Je ne 

 crois pas que l'on connaisse un tel exemple d'une fonction de deux variables 



(') Au sujet de l'existence de tels nombres a, on peut consulter la Noie qui termine 

 ma Thèse. 



