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 réelles, qui ne soit analytique en aucun point (r,/), et qui s'introduise né- 

 cessairement à propos d'un problème très simple dans l'énoncé duquel ne 

 figure qu'une fonction analytique des deux variables. » 



GÉOMÉTRIE. — Sur le roulement de deux surfaces l'une sur l'autre. Note 

 de M. E. CossERAT, présentée par M. Darboux. 



« Les résultats si remarquables, relatifs aux plans entraînés par une sur- 

 face e qui roule sur une surface 9,, conduisent naturellement à mettre en 

 évidence la surface (S) enveloppe d'un de ces plans. On peut, en particu- 

 lier, supposer connue la surface (2) et chercher, avec Ribaucour ('), les 

 mouvements de roulement correspondants. Nous nous proposons d'indi- 

 quer ici, parmi les résultats les plus simples que nous avons obtenus dans 

 l'étude de ce problème, ceux qui mettent le mieux en évidence l'intérêt 

 qui s'attache à ce procédé particulier de détermination de couples de sur- 

 faces applicables l'une sur l'autre. 



» L'étude actuelle trouve son point de départ dans les Chapitres VI 

 et VII du Livre VIII des Leçons de M. Darboux, dont nous conserverons 

 les notations. 



» Envisageons un mouvement à deux paramètres dans lequel une sur- 

 face du système mobile roule sur une surface fixe 0,; rapportons le 

 système mobile à un trièdre trirectangleOicj-G; et soient, par rapport à ce 

 trièdre, x,y, z les coordonnées du point de contact de et de 0,. Suppo- 

 sons que la surface (i), enveloppe du plan Oxy, soit connue et rapportée 

 à un système de courbes (m), (c); adjoignons-lui le trièdre (T) habituel 

 dont nous désignerons les translations par ^, r,, O, E, , v;, , O, et les rotations 

 par p, q, r, p^,q^, r, . Le mouvement du trièdre Oxyz sera déterminé si l'on 

 connaît, en fonction de u et de c, les inconnues ic,,/ ainsi que l'angle a, que 

 fait l'axe des x du trièdre (T) avec Ox. 



» On trouve que l'inconnues est définie par l'équation aux dérivées par- 

 tielles du second ordre (-) 



(') A. Ribaucour, Notice sur ses tracatix mathématiques, p. 20 ; 1873. 



(2) Si les courbes (u), (c) sont les lignes de courbure de (S) et si (T) est le trièdre 

 adjoint habituel, cette équation s'identifie facilement avec celle donnée par Ribaucour 

 dans sa Notice précédemment citée. 



