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 je me bornerai ici à l'un de ces cas, à l'égard duquel j'énonce d'abord la 

 proposition suivante : 



» Si l'un des systèmes de caractéristiques de l'équation (i) admet exacte- 

 ment deux combinaisons intégrables. Vautre en admet aussi deux; pour que 

 ce cas se présente, il faut et il. suffit que la surface (i) et ses surfaces parallèles 

 soient des sphères concentriques ; les caractéristiques, dont l'équation (4) ne 

 varie plus avec s, sont les lignes de longueur nulle d'une de ces sphères. 



1) L'un des plans entraînés passe, dans le cas actuel, par un point fixe: 

 prenons ce plan pour plan des xy de Oxyz et pour variables u, v les para- 

 mètres des caractéristiques de (i); par un choix convenable de «, v et des 

 axes fixes coordonnés, on trouve que et 0, sont respectivement définies, 

 par rapport à Oxyz et par rapport au trièdre fixe, par les formules 



(4) x=y+\J, y=i(Y-\i), s =(i-+-w)v/u'V', 



(5) x,= {u + v)^WV' , y,= i{<.'~u)^WY', z,= {uv~i)fUY', 



U désignant une fonction de u dont la dérivée est U', et V une fonction de 

 V dont la dérivée est V. 



)) En prenant pour U et V des fonctions algébriques, on aura des 

 couples de surfaces algébriques applicables l'une sur l'autre; en prenant 

 pour U et V des fonctions imaginaires conjuguées, on aura des couples 

 réels. 



» Les variables u et (' correspondant aux caractéristiques de l'équa- 

 tion (i), il en résulte que la surface (S), lieu du point X, Y, Z défini par 

 les formules 



(G) X = a;-f-a:,, Y=y+y„ Z=z+z„ 



admet les courbes {u), {v) comme asymptotiques; si l'on vérifie directe- 

 ment ce point, on constate que la surface (S) est représentée par les for- 

 mules de M. Lelieuvre (D.vrboux, Leçons, t. IV, p. i\), dans lesquelles on 

 adopte pour 6,, 62, 9, les expressions 



0, = v''(^Vv^+ «v/û^). fJ. ^--i\~i{^'sly''~u^{y), 0, ^ -^i{^w + slu). 



)) Les formules (4). (5) et (6) mettent ainsi en évidence des surfaces 

 particulièrement intéressantes pour lesquelles la solution du problème de 



la déformation infiniment petite dépend de l'équation - — — ^o; et il 



suffit, en particulier, de i)rendre pour U et V des fonctions algébriques 

 pour que ces surfaces soient algébriques. 



C. R.,1895, 2' Semestre. (,T. CXXI, N° 25.) ^ ^^ 



