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x,f, et si l'on sait intégrer l'équation du second ordre, la recherche de ces 

 problèmes de variations se résout par une simple quadrature. C'est là le 

 résultat établi par M. G. Darboux dans le tome III de ses Leçons sur la 

 Géométrie, p. Sg. 



» Dans le cas d'un plus grand nombre de variables, il n'en est plus de 

 même, ainsi qu'on va le constater par l'examen du cas particulier, où les 

 équations (i) sont équivalentes aux équations 



d' Yi d- y, ■ c/^ r„ 



(-) ^=-. ^ = °' 



dx'- ' dx- ' • ' • ' dx' 



o. 



» Si n =: 2, les équations (2) conviennent aux droites de l'espace (x, 

 y,,y2 étant les coordonnées rectangulaires d'un point). En sorte que, dans 

 ce cas, le problème que nous traitons consiste à trouver les problèmes de 

 variation qui correspondent aux droites de l'espace. On peut, du reste, 

 conserver la même locution pour n quelconque, à la condition d'adopter 

 le langage conventionnel de la Géométrie à (n + r ) dimensions. 



» Au lieu de conserver les variables a, y,, y.,, . . -, Vk,/,, • . • ,y„ dans la 

 fonction /, adoptons les variables x, y\ ,y[, . . . , j,',, u,,u.^, . . . , u„, où 

 M, = J', — scy'i . On constate sans peine que la condition nécessaire et suffi- 

 sante pour que les équations (i) soient équivalentes aux équations (2) se 

 traduit par les équations 



(3) JL(^ _-c^]^ ^, 



en prenant /sous la forme 



f = Y(x,y\, ...,y'„u,,..., «„). 

 » 2. Pour intégrer les équations (3), posons 



(4) F-£' 



nous trouverons, par un calcul qui n'offre aucune difficulté, que >. doit 

 vérifier le système d'équations 



(5) ^ - .r ^ = K,- a^ 4- p,. (j"= 1,2, ...,«). 



» Les quantités a,, p, sont des fonctions de «,,... , u„, y\, ■ ■■ ,y'„, , mais 

 sont indépendantes de x. En cherchant la condition pour que les équa- 

 tions (5) soient compatibles, on trouve que a,, jï, ont les expressions 



