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sa somme. On s'assure aisément que cette définition coïncide avec la défi- 

 nition usuelle, lorsque la série {_u) est convergente. 



» Comme notre définition dépend, en apparence du moins, du choix de 

 cp(«!), nous supposerons dans ce qui suit, pour plus de netteté, o{a) = e". 



» Supposons maintenant que les termes de la série (m) soient des fonc- 

 tions d'une variable (') complexe z, holomorphes dans un certain do- 

 maine D. La série (u) sera dite uniformément sommable dans ce domaine, 

 si d'abord, pour toute valeur de a, la série 0(a) dont les termes sont des 

 fonctions de z, est uniformément convergente dans D et si, de plus, la 

 somme ^{a, z') de cette série tend uniformément vers une limite F(^), 

 lorsque a augmente indéfiniment. On a donc 



F(:;) = 0(0, z) ^^ VK'^ -h i, ^) - 0(n, 2)], 



cette série étant uniformément convergente dans D. 



» Il est dès lors à peu près évident, et d'ailleurs facile à démontrer en 

 toute rigueur, que : 



» Si les tenues d'une série sont des fonctions holomorphes dans un domaine D 

 d'un seul tenant, et si la série est uniformément sommable dans ce domaine, 

 sa somme F est homolorphe dans D. 



» Supposons, de plus, que, dans une portion D' du domaine D, la série 

 soit uniformément convergente; elle représente dans D' une fonction 

 analytique, qui, d'après ce que nous avons observé, y coïncide avec F. 

 Comme la fonction F est holomorphe dans D, nous voyons que : 



» La somme F d'une série uniformément sommable dans un domaine D 

 d'un seul tenant est, lorsque la série est uniformément convergente dans une 

 portion D' de D, le prolongement analytique dans D de la fonction que la 

 série représente dans D'. 



» Considérons, par exemple, la série 



xY(^x) = Aj + A, a; -l- k.,x- -\- . . . . 



» On démontre assez aisément qu'elle est uniformément sommable dans 

 tout le domaine formé des valeurs de x, dont la partie réelle est supé- 

 rieure à un nombre fixe quelconque k supérieur à jnoins un. 



» Dès lors, pour une valeur quelconque de x satisfaisant à cette condi- 



(') Nous prenons une seule variable uniquement pour simplifier le langage. 



