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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la valeur nio/enne des coejficients dans le dé- 

 veloppement d'un déterminant gauche ou sj^mélrique d'un ordre infiniment 

 grand et sur les déterminants doublement gauches. Note de M. Sylvester. 



« Dans un déterminant ou gauche ou symétrique, j'ai fait voir ailleurs 

 que tous les coefficients qui ne sont pas des unités seront des puissances 

 de 2. J'ajoute que, dans le dernier cas, si n est l'ordre du déterminant, la 

 plus haute puissance de 2 qui entre comme coefficient sera la partie entière 

 de ^ et dans le premier cas y (« dans ce cas étant un nombre pair). 



» M. Cayley a le premier démontré que, si le nombre des termes dis- 

 tincts dans le développement d'un déterminant symétrique de l'ordre x 



1 '1 

 est (i .2.3.. .x)9.j.^ fij aura pour sa fonction génératrice ; et, de ma 



part, j'ai démontré que, si le nombre des termes distincts dans un détermi- 

 nant gauche de l'ordre 2x est 1 .3. 5 . . .2.r — r w^;, oj^ aura pour sa fonc- 



. ' / e' 



tion génératrice w-^^* 



» Ces deux formules suffisent pour la solution du problème proposé. 

 Commençons par le déterminant gauche. Eh vertu de la lormide donnée, 

 on aura 



r .- 3-' r — 1] 



(j}_^:=\l-i-X-\-l.OX-\-l.S.Ç) 



2 



(, „ jrfx — i)(x — 2] . ►. ,, Q,~| I 



+ 1.5.9.13-^ ^^3 + ■•• + '•^•9--(4^-3)J-.' 



nombre qui est toujours entier, car w^ est assujetti à satisfaire à l'équation 

 cj^ = (2,2; — I ) Wj._, — (x' — i)a)j._2; de sorte que Wo, w, ét.int 1,1, tous 

 les fi) seront des nombres entiers. En posant i. 3. 5... 2^7 — 1 Wj= «j^., 

 on trouve facilement, à l'aide de cette expression, que, pour x := x> , 



4 1 . 5 . q . . . 4 •; 

 := e ■•» -f 



1.2.3. ..2.r ^.8.11. ..^x 



» De plus, par une méthode bien connue, on trouve 

 log(i.5.9...4^ — 3) =C — X + -H- ^A— log(4a? — 3) 



I ri I c/" 



H T-logfZja; — 3) —\o"(l\x— 3' 



12 ^/.r ° ^ 1 'J20 dx^ ° ^ 



Ir^ '0"4\ 1 < I A 



= IC 7- I — X -\- log4ir + X log.x- H 



