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MEMOIRES PRESENTES. 



ANALYSIî MATHÉMATIQUE. — 5»?' une applicaùon de la théorie des fonctions 

 elliptiques. Mémoire de M. E. Picard, présenté par M. Hermite. 

 (Extrait par l'iuiteur.) 



(Commissaires : MM. Hermite, Bouquet.) 



« On connaît les belles recherches de ]M. Hermite sui' l'équalion de 

 T>amé 



'■£1 == ["(« + i)A'sir.r + Ji]f, 



où siix est la fonction elliptique ordinaire de module k, n un entier po- 

 sitif et A une constante quelconque. L'intégrale générale de cette équation 

 est, suivant la dénomination de M. Hermite, une fonction doublement 

 périodique de seconde espèce aux périodes 2K et 2/K', c'est-à-dire qu'elle 

 se reproduit à un facteur constant près quand on change x en x ~{- 2R et 

 X -\- 2i¥J . C'est à l'élude d'une équation différentielle du second ordre 

 renfermant, comme celle de Lamé, un nondjre entier arbitraire et une 

 constante quelconque qu'est consacré ce travail. Dans une Note sur une 

 nouvelle forme des coordonnées dans le problème des deux corps 

 [Comptes rendus, 12 mai 1879), M. Gyldén a rencontré l'équation différen- 

 tielle 



d'Y r, ,0 snxcnx (-/) , ,,„. 



.7.7^+3^-^i^--l-2(. + /t'-).r = o, 



et il a montré que l'intégrale générale de celte équation était une fonction 

 doublement périodique ordinaire ou de première espèce. M. Hermite a bien 

 voulu appeler mon attention sur l'équation plus générale 



I 7^ + fik' — T -f h c/.r = o, 



11 étant un entier positif et a une constante quelconque. Je me suis pro- 

 posé l'intégration de cette équation dans le cas où son intégrale générale 

 est uniforme. J'indiquerai brièvement les résultats auxquels je suis par- 

 venu. 



» Considérons d'abord le cas où n est impair. L'intégrale générale de 

 l'équation (i) n'est p.is uniforme si a est quelconque. Soit /; — iii! — i ; il 



