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 y aura «'— i valeurs de a pour lesquelles l'intégrale générale sera uni- 

 forme. C'est ce que j'établis de la manière suivante. Je montre d'abord 

 qu'il ne peut y avoir plus de «' — i valeurs de a pour lesquelles l'intégrale 

 générale soit uniforme, en m'appuyant sur les principes donnés par 

 M. Fnchs dans sa théorie des équations linéaires. Soit E l'équation qui 

 donne ces n' — i valeurs de a. Cela posé, je cherche dans quels cas l'équa- 

 tion admet une intégrale de la forme 



/ = A, su^"'--.r + k.,m-"'-'' X 4- ... H- A„', 



les coefficients A,, Ao, ... , A,,' étant des constantes. On voit que, outre 

 « = o, il y a n' — i valeurs de v. pour lesquelles il y a une intégrale de 

 celte forme; l'équation donnant ces n' — i valeurs se confond avec l'équa- 

 tion E. Si l'on cherche enfin dans quels cas l'équation admet une inté- 

 grale de la forme 



y = cnjf(B, sn-"' ^x + B28n-"'""'a' -(--. + B„'_| suj:), 



les B étant des constantes, on reconnaît que a doit satisfaire encore à 

 l'équation E. Il suit de là que les seules valeurs de la constante pour les- 

 quelles l'intégrale générale soit uniforme sont les racines de E, et l'on voit 

 de plus que, dans ce cas, cette intégrale générale est une fonction dou- 

 blement périodique de première espèce. Dans le cas de « = 3, par 

 exemple, il n'y a qu'une seule valeur convenable de a: c'est a = 2(1 -t-^'-), 

 ce qui est précisément le cas rencontré par M. Gyldén. 



» Des circonstances entièrement différentes se présentent quand n est 

 un nombre pair que nous désignerons par 211' . On reconnaît d'abord que 

 l'intégrale générale est toujours une fonction uniforme. Nous allons voir 

 que cette intégrale est, comme dans l'équation de Lamé, une fonction dou- 

 blement périodique de seconde espèce. Considérons la fonction 



où X et w désignent deux constantes. 



» On peut déterminer X et «, ainsi que les constantes M,, Mo, , . , M,/. ,, 

 de manière que l'expression 



(2) ;■ = D/-'/(x) + M,Df-''/(x) + ...!- M,/_,/(.r) 



soit une solution de l'équation différentielle. 



" M,, Mj, . .., M,/ , sont des fonctions entières de «; ')? et sir w sont 



