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 ici les fonctions uniformes^ (a;), telles qu'il existe une relation linéair eà 

 coefficients constantsentrey(a;),y(i»+ 2K) etf{x-h liK), puisentrey (a;), 

 J{x-+- 2iK')elJ{x -h ^iK'). Ces relations pourront s'écrire 



(i) f(a; + 4K) = A J [x) -^ Bj{x + 2K) 



(2) f{x-\-^iK') = h'/[_x)-hB'f{x-h ziK.'), 



où les A et les B sont des constantes. Nous supposerons que A et A' ne sont 

 pas nuls tous deux, car la fonction serait simplement alors une fonction 

 périodique de seconde espèce. Soit A différent de zéro. Considérons l'ex- 

 |)ressioii 



lJ.f{oo^ 2K) -^- Aj[x). 



» On peut choisir la constante fx de manière que cette fonction se repro- 

 duise à un facteur constant près par le changement de a; en a; -t- 2R. Cette 

 substitution donne en effet 



(/JLB-+-A)y(a;+ 2K) -^ i}.kj{x). 



Nous devrons donc prendre pour p. une racine de l'équation 



'- = p, ou fJL — Dp. — A = O. 



» Supposons que les racines de cette équation soient distinctes, et dési- 

 gnons-les par pt, et v. Nous aurons 



(3) ii.f{x + 2¥.)-^kf{x)^(f{x), 



(4) vJ\x-^2Y.)+kj\x)='^{x), 



(f[x) et tj>(a;) satisfaisant aux relations 



(5) (p{x -\- 2¥^) = \x(f[x), 41(0; + 2K) — vij>(x). 

 Lis équations (3) et (4j donnent de suite 



A(p. — v)/ {x) = iJ.<\i{x) — V y [x). 



Il En portant cette valeur dey(a;) dans la relation (2), il vient 



a[^{-(a;-^4^R'j - A'f» - B'^{x -^ 2iK.')] 

 = v[<p{x + qiK') - A'ç{x) -B'cp{x-l- ziK')]. 



Le premier membre de celle identité se reproduisant multiplié par v et le 

 second par p., quand on change jc en x -h 2 R, chacun d'eux doit être iden- 



