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tiquement nul. Chacune des fonctions 9(0;) e\ ^{x) satisfait donc à la re- 

 lation (2). 



» Si A' est nul, les fonctions (p et ^ seront des fonctions de seconde 

 espèce, et alors/(a;) sera la somme de deux fonctions doublement pé- 

 riodiques de seconde espèce. Soit A' différent de zéro. Suivant la même 

 voie que précédemment, nous démontrerons que l'on peut trouver deux 

 quantités |x' et v', telles que 



ljj(p{x-^ 2iK') -h- k'fix) et v''^(a7+ 2iK')+ Â'î)(a7) 



se reproduisent à un facteur constant près par le changement de x en 

 X -+- 2iK', fJL' et v' sont les racines de l'équation du second degré 



p.'-- B',a'- A'=o, 



que nous supposons, pour le moment, distinctes. 

 » On peut donc écrire 



p.'!p(ir + 2iK') -hK'o{x) = U^y(a7), 



'/(p{x-h 2îK') + K'f{x) =:\]^y{x), 



les fonctions U^.j,' (a;), U^ly{x) étant des fonctions doublement pério- 

 diques, dont les multiplicateurs sont respectivement jn. et p.', fi et v'. f {x) 

 est donc la somme de deux fonctions doublement périodiques de seconde 

 espèce. Il en est de même de <\i{x), et les multiplicateurs sont respective- 

 ment V et p.', V et v'. La fonction /(a;) est par suite la somme de quatre 

 fonctions doublement périodiques de seconde espèce. Or M. Hermite a 

 montré {Comples rendus, i5 octobre 1877) comment on pouvait exprimer, 

 au moyen des fonctions H, 0,... de la théorie des fonctions elliptiques, 

 toute fonction doublement périodique de seconde espèce. Notre fonction 

 pourra donc s'exprimer aisément au moyen de ces éléments analytiques. 



» Nous avons supposé que /x et [x étaient respectivement différents de v 

 et v'. Le cas où deux de ces quantités seraient égales peut être considéré 

 comme cas limite du cas général. On prendra l'expression générale de/{x) 

 et on la considérera comme une fonction de y et de v'; si l'on fait tendre 

 alors V et v' vers (x et p.', il y aura simplement dans la fonction un change- 

 ment de forme analytique, et l'on pourra, dans tous les cas, exprimery(aî) 

 au moyen des fonctions H, 0,. . . de Jacobi. 



M J'envisage maintenant l'équation linéaire du second ordre 



d^ r dy 



