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 où je suppose que/? et q soient des fonctions doublement périodiques or- 

 diiiiires, aux périodes 2R et 21K'. Supposons de plus que cette équation 

 admette une intégrale uniformey(a;). L'équation ne changeant pas parles 

 substitutions Je o^ -t- 2R, a? + 4K. et de^r-t- 2iK', x + l^iK' 'ax,J{x-\- 2R) 

 et f[x -I- 4K) seront des iutégrnles, ainsi que/(a7+ liK') elf{x -+- 4'K.'); 

 la fonctiony(a;) satisfera donc à deux relations de la forme (i) et (2), 

 les A et les B étant des constantes. Celte intégrale devra donc pouvoir être 

 exprimée, comme il a été dit précédemment, au moyen des fonctions 

 11,0,.... Il restera, bien entendu, à déterminer les constantes entrant dans 

 ces expressions. Parmi les équations de la forme (6), nous pouvons citer 

 l'équation de Lamé dont M. Hermite a fait connaître l'intégrale générale, 

 qui s'exprime bien effectivement au moyen des fonctions doublement pé- 

 riodiques de seconde espèce. 



Nous venons de dire qu'une intégrale uniformey(a;) de l'équation (6), 

 devant nécessairement satisfaire à deux relations de la forme (i) et (2), 

 pouvait s'exprimer au moyen des fonctions de Jacobi. On peut aller plus 

 loin. Nous n'examinerons pour le moment que le cas où, dans ces relations, 

 B- + 4A et B'- + 4^' seraient tous deux différents de zéro. Outre les rela- 

 tions (i) et (2), nous pouvons ici trouver une troisième relation. En effet, 

 {x + 2K) etj{x-h a/K') étant, conuiiey (a;), des intégrales, il doit néces- 

 sairement exister entre elles une relation linéaire. Si donc^ (a;) etf{x-+- 2R) 

 ne sont pas dans un rapport constant, cas dans lequel on voit de suite que 

 J^{x) est la somme de deux fonctions de seconde espèce, on pourra trouver 

 deux constantes A" et B" telles que 



(7) /(^ + 2/K') = A"f{x] -f- B"J{x + 2R) ; 



or nous avons vu L\ne J[x) doit avoir la forme 



ces quatre fonctions étant des fonctions de seconde espèce, dont les multi- 

 plicateurs sont indiqués en indices. En substituant dans la relation (■y), on 

 trouve qu'il est impossible de déterminer A" et B", si deux des fonctions U 

 ne sont pas identiquement nulles '■ f{x) est, par suite, la somme de deux 

 fonctions doublement périodiques de seconde espèce. C'est le résultat 

 auquel est arrivé M. Hermite pour l'équation de Lamé('). Si les quanti- 



(') C'est par inadvertance que j'ai écrit, au début de la Communication insérée dans le 

 dernier numéro des Comijtes rendus, que l'intégrale générale de l'équation de Lamé était 



