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» A chaque point critique correspond un polygone spécial. Les pre- 

 miers termes des séries obtenues en considérant les cotés de ce polygone 

 suffisent pour donner les termes de plus haut et de plus petit degré de l'é- 

 quation proposée, et en former pour ainsi dire les contours principaux. 

 Mais je considère aussi, relativement au même point critique, certains poinis 

 correspondant aux termes de l'équation et qui sont dans l'intérieur du 

 polygone; et il en résulte de nouvelles séries qui, employées comme les 

 précédentes, conduisent, par leurs premiers termes, à la reconstruction 

 complète de l'équation. 



» 3° Outre les séries simples qui ont lieu autour des points critiques, je 

 considère des séries doubles qui ont lieu dans des couronnes circulaires. 

 Leur détermination dépend du théorème suivant : 



» Étant donnée une équation algébrique/(;", jc) = o, on peut toujours 

 trouver un nombre m, tel qu'en posant jc = z'", les fonctions algébriques 

 déterminées par l'équationy (j', c'") = o restent synectiques, pour toute 

 l'étendue du plan, dans des couronnes circulaires décrites de l'origine 

 comme centre. Pour faire le tracé de ces couronnes, on détermine les va- 

 leurs de X qui font acquérir à réquationy(_^,'j?) = o des racines égales ou 

 infinies, a étant l'une des racines, on pose a = u"\ et l'on trace sur le plan 

 les points a, par lesquels on fait passer des circonférences décrites de l'ori- 

 gine comme centre. Ce sont celles-ci qui forment les couronnes dont il 

 s'agit. 



» 4° Toutes les séries auxquelles peut donner lieu une équation algé- 

 brique sont rangées sous les trois types suivants : 



7-= A+ Bx'' + Cx ' +..., 



/ — . ..Mx ' -h Na; ' + A 4- Bx' -4- Cx~ -h . . . , 



j- = M-H Nx^ + Px"^ 4- . . . , 



dans lesquelles les nombres r peuvent être positifs ou négatifs. J'énonce 

 alors les résultats suivants : 



» Dans le premier cercle, toutes les racines j" sont développables en 

 série du premier type. 



» Dans la portion du plan extérieure au dernier cercle, elles sont déve- 

 loppables en séries du troisième type. 



» Dans les couronnes on peut rencontrer à la fois les trois types. 



» Si l'on part du centre commun à ces cercles, le nombre des premières 



