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» On voit ainsi que la fonction lognépR représente le potentiel des 

 actions exercées par le groupe des points racines de l'équation (i) sur le 

 point P. 



» Pour que P soit en équilibre, il faut et il suffit que le centre résul- 

 tant Q passe à l'infini. Il en est ainsi lorsque F'(s) s'annule. Par consé- 

 quent, la condition nécessaire et sujfisanle pour que le point P soit en équilibre 

 est que ce point coïncide avec une racine de la dérivée de Véqualion proposée. 



» On peut déduire de cette observation plusieurs conséquences intéres- 

 santes. 



» Une droite indéfinie, tracée dans le plan et laissant d'un même côté 

 de sa direction tous les points racines, laisse aussi du même côté de sa di- 

 rection toutes les racines de l'équation dérivée, car un point situé de 

 l'autre côté de celte droite serait nécessairement repoussé et ne pourrait 

 être en équilibre. Il en résulte que tout contour fermé convexe environnant 

 le groupe des points racines de l'équation proposée environne aussi le groupe 

 des points racines de l'équation dérivée. 



» Si toutes les racines de l'équation donnée sont disposées en ligne 

 droite, l'équilibre d'un point P n'est possible que sur cette droite. Dési- 

 gnons par Mn et ]Vr„+, deux racines consécutives; plaçons P dans leur in- 

 tervalle et faisons-le mouvoir depuis l'extrême voisinage de M„ jusqu'à 

 l'extrême voisinage de M„+, : l'action totale par laquelle ce point est solli- 

 cité est toujours dirigée sur la droite; elle est d'abord infinie, dans le 

 sensM„M„+i, pjiis, finalement, infinie dans le sens contraire M„+,M„ ; elle 

 s'annule nécessairement dans l'intervalle. Par conséquent, 5î les points ra- 

 cines de l'équation proposée sont en ligne droite, cette droite contient aussi les 

 racines de l'équation dérivée; entre deux radiées consécutives de l'équation pro- 

 posée, il y a nécessairement une racine de la dérivée. 



» Si parmi les racines de l'équation proposée se trouvent n points in- 

 finiment voisins les uns des autres, les actions exercées par ces racines sur 

 un point P pris dans leur intime voisinage sont infiniment grandes et 

 rendent négligeables celles des autres points racines. On trouvera, par 

 conséquent, à l'intérieur de ce polygone, [n — i) positions d'équilibre du 

 point P. On voit ainsi que, lorsqu'une équation admet n racines égales, le 

 point multiple correspondant à ces radiées représente [n — i) racines de l'équa- 

 tion dérivée. 



o Indiquons encore que tout axe de symétrie ou tout centre de symétrie des 

 points racines d'une équation est aussi axe ou centre de symétrie des points ra- 

 cines de l'équation dérivée. 



