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ANALYSE. — Inlégralion des irrationnelles du deuxième degré. 

 Note de M. N. Alexéeff. 



« Dans une des séances de la Société mathématique à Paris, j'ai montré 

 un procédé d'extraction de la racine carrée d'un nombre N. Maintenant, 

 j'ai l'honneur de présenter à l'Académie quelques applications de ce pro- 

 cédé au calcul des intégrales irrationnelles du second degré. 



» Ayant à extraire la racine carrée d'un nombre N, je décompose ce 

 nombre en deux facteurs a et b : la moyenne arithmétique de ces deux 

 facteurs donnera la première approximation plus grande que la racine; la 

 moyenne harmonique des mêmes facteurs sera aussi la valeur approcliée 

 de la racine moindre que cette racine. Le produit de ces deux moyennes 

 est égal au nombre donné N. En prenant la moyenne arithmétique de ces 

 deux moyennes et leur moyenne harmonique, on aura la seconde approxi- 

 mation et ainsi de suite. Si l'on désigne par P„ le numérateur et par Q„ le 

 dénominateur de la /i"'™" valeur approchée de la racine plus grande que 

 cette dernière, il est clair que la valeur approchée du même ordre moindre 



que la racine sera -^'- Pour calculer ces réduite.*, on a les formules de 



réduction suivantes : 



(i) P. = P,L + NQ,;„ Q,, = 2P,_,Q„_„ 



Pour la différence des deux réduites de même ordre, qui contiennent la 

 racine, on a 



Q. V„ I>„Q„ 



A l'aide des formules (i), cette différence peut être exprimée en P„_, et 

 Q„_i ; en abaissant successivement l'ordre de P et Q, on parvient à celte 

 formule : 



^ ' Q„ P„ ~ P„Q„ 



La seconde partie de celle équation exprime le degré d'approximation lors- 

 qu'on prend pour la valeur de la racine carrée la réduite--- En calculant 

 les valeurs de P„ et de Q„, on trouve 



(3) P„ + Q„ vN = (v« + V'^)'", P« - Q« VN = (\/« - v'^)'". 



