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d'où l'on tire facilement 



(4) P« = ^ ' Q«- -—^ 



» Ce procédé d'exiraclion de la racine carrée est applicable même lorsque 

 N et ses facteurs a et è sont fonctions d'une variable x. En considérant a 

 et b comme fonctions de x et posant, pour abréger, 2"= 2^, cherchons 

 la dérivée de P„ par rapport à x, La première des formules (4) nous 

 donne 



A l'aide des formules (3), après quelques réductions, on trouve 



(5) ^ £ = l\,{d-b') -^Q„{ab'- ba'), 



où a' et b' désignent les dérivées de a et de Z» par rapport à x. 



» Ap|)liquons maintenant nos formules à calculer approximativement 



l'intéerale | -^' Si la racine carrée VN est exprimée par la réduite -^ avec 



,, . . [a — by-i 1 « • .• I- j 



1 approxunalion ■ > on a avec la même approximation, au lieu de 



l'intégrale donnée à calculer, l'intégrale / -^^7-^- Tirons la valeur de Q„ de 

 l'équation (5) pour la mettre sous le signe de/; on aura 



•■ o ' *^ u o 



avec 1 approximation i » 



» Pour exemple, prenons l'intégrale elliplique de la première espèce; 



on a 



N = (i — ^■')(i — k'x'-), rt = (i — k'-x'-), b =^1 — X-, 



d'où l'on tire (a — b) ^ k'-x- et le degré d'approximation ■ 



* U Ni»! 



» Puisque V, = a-\-b = 2 — {i-h k'^)x-, il est clair que P„ sera un poly- 

 nôme de degré 27 = 2" et qu'il ne contiendra que les termes de degré pair 

 en x; puis on a 



a'=^2/i-x, b'=---"ix, a'— b'= 2k''x, ab'- ba' = - 2t^x. 



