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Premier cas : j r= o. 



» Je vais iiilroduire les polynômes étudiés par Jacobi, et qui naissent de 

 la série bypergéométrique; je poserai, suivant l'usage, 



^ ' \ > I ' i' J l _y , .2.7(7 -+- I) 



» J'ai été amené, par induction, à supposer qu'on a, en général, 



,,•,: ,■ T^n /' — " 71 -h i -T- 9. \ 



( , I ) K;;;' = ^.' F- i^^^~ , . , I , V j , 



où la différence / — u doit être paire et négative. 



» Pour démontrer la généralité de cette formule, il suffit de prouver que, 

 quels qne soient les entiers i et n, avec la réserve mentionnée ci-dessus, 

 l'expression (11) de Rî;' vérifie l'éqiiation suivante, déduite de (8), en y 

 posant y = o : 



Cela donne, en supprimant le facteur p.' et remplaçant p.= par (1 — v)-, 



po n — n fi + 1 -\- 3 \ _ 2 / i + 1 — n n + / \ 



OU, en taisant, pour abréger, a = . p = , 



( F\«,/3)-F=(a+i,|3-.) 

 ^'^^ ( =p^-5{^: + [F=(«M^-0-('-v)=P(a+.,/3)l. 



Or, si l'on se reporte aux relations qui existent entre les fonctions F(a, p) 

 qui répondent aux valeurs a, (3, a di i, |6 ±: r , on trouve 



(^ _ I _ a)F(a, (3 - t) + aF(« + i, /3 - i) - (/3 - i)F(«,/3;) ::= o, 

 -(P - 1+ a) F(a, /3) + «(, - v)F(a -h I , f^) -f- (/3 - i) F(a. |3 - i) = o. 



On tirera de ces deux équations les valeurs de F(a, |3 — 1) et F(a-l-i,/3— 1) 

 en fonction de F(«,p) et (i — v)F(a + i, |3), et, en substituant dans (i3), 



