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 il faudra que l'cquation résultante soit identique; c'est en effet ce quia 

 lieu. La formule (i i) est donc bien démontrée d'une manière générale. 



Deuxième cas .• y = i . 

 M 3*ai été conduit à poser, par voie d'induction, 



(i4) Ei.:| = ^i«-/-l-i)(«-l-M- i)F-(^ ^^ , ^ ; 2,vj, 



la différence (/ + i — n) devant être négative et paire. 



» Pour prouver la généralité de cette formule, il suffira de prouver que, 

 quels que soient les entiers i el ii, l'expression (i4) de R|"| vérifie la formide 

 suivante, déduite de (8), en y faisant j= i : 



(.5) r;:;'-r17'-i-t^^''^''-^'^'')- 



En portant l'expression (i/j) dans l'équation (i5) et faisant 



i — n -\- \ /■ H- « -f- 3 r> 



=«> 7. =^F> 



on trouve que l'on doit avoir 



où tous les éléments y sont égaux à 2. 



» Or on a entre les fonctions contiguës les relations 



(/3-a -i)r(a,p-i) + «?(« + !, ^-i)^h(i-, S) F(a,/3) = o, 

 (2-a-/3)F(«,/3)4-«(i-v)F(a+i,/3)-(2-/3)F(a,/3-i)=3 0. 



En tirant de ces deux dernières équations les valeurs de F(«, /3 — i) et 

 F(a+i,|3 — i) en fonction de F(a,|3) el ([ — v)F(«-i- i,p), et reportant 

 clans (i6), on trouve une identité; ainsi la formule {\[\) se trouve encore 

 démontrée. 



Troisième cas : j quelconque. 



» J'ai été amené à poser, par voie d'induction, 



;■ („, _ ,- JlV^— f—/-|-?.'if/?—/— 7+ 4)...(;;—/H-7)1 [('»+/ — /4-2)f/?+ /•—/• + 4). ..(/?+ /+/1] 



r "'"''■'■' (2.4.6...2yj' 



^ ' \ ^^li+J — n i -\-J-{- n+ 7. . 



