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ANALYSE MATHKMATIQUE. — Sur la séparation des racines d'une équation 

 alqéhritjuc à coefficients nwncriques. IMole de M. Laguerke. 



<■ 1. Étant donnée une éqnation algébrique rie degré m,J[x) = o, nn 

 des principaux problèmes que l'on ait à résondre est de déterminer le 

 nombre des racines de cette éqnation comprises entre deux nombres don- 

 nés n et b. Bien (jiie Sturm ait résoin ce problème de la f>içon la plus com- 

 plète et la pins élégante, la complication des calculs auxquels conduit 

 l'emploi de sa méthode donne de l'intérêt aux théorèmes plus simples qui, 

 comme celui de Fonrier (et celui non moins remarquable que M. Sylvester 

 a démontré en complétant ime idée jetée en passant par Newton), four- 

 nissent une limite supérieuie du nombre de ces racines. 



» Le théorème de Fourier donne encore lieu à des calculs assez pénibles. 

 La méthode (]ui suit n'exige guère que la division àe. J {x) par le trinôme 

 [x — a)[x—b); elle conduit souvent à une limite plus rapprochée et 

 repose d'ailleurs sur des considérations enlièrement différentes, qui trouvent 

 dans d'autres circonstances d'utiles applications. 



» 2. Effectuons la division du polynôme/ [x) par le trinôme 



(x — a)[x — b). 



Soient 



Co + C,x + C.x- + . . + C,„_2x"'-= 



la partie entière du quotient et M x + N le reste de la division; posons 



Mx-4-N _ _B A 



[x — " ) ( -c — i>) X — b ^' — " 



et formons la suite 



(i) A, B- èC„, B-^'^C,, ..., B-i'"-'C„, „ B. 



Si a et è désignent deux nombres positifs dont le pins grand soit b, on 

 j)eut énoncer la proposition suivante : 



» Le nombre des racines de l'équation f[x) = o, comprises entre les deux 

 nombres a et b, est au plus égal nu nombre des variations des tenues de la 

 suite (i), etj si ces deux nombres sont différents, leur différence est un nombr 

 pair. 



