( 6-i6 ) 

 » 3. Ayant, comme il est facile de le voir, 



A = 7 et B=, ) 



b — a b — a 



il en résulte que les termes de la suite (i) ont les mêmes signes que les 

 termes de la suite 



{/{n),f{b)-b{b-a)C,,f{b)-P{b-a)C 



^^^ I f{b)-b"'-'{b-a)C„,^,,j:b). 



a Désignons respectivement par a et /3 le plus petit et le plus grand des 

 termes de celte suite ; je dis que : 



)) La valeur que prend le polynôme f{x), quand x varie depuis a jusqu'à b, 

 demeure toujours comprise entre les nombres a c< [3. 



» Considérons, en effet, l'équation ^(x) — X = o, où X désigne une 

 quantité indéterminée; il résuite de la proposition précédente que l'on a 

 une limite supérieure du nombre des racines de cette équation, qui sont 

 comprises entre n et b, en comptant le nombre des variations que présente 



la suite 



if{a)~l,f{b)-\-^b{h-a)C„ ..., 



^^ l J{b)-l-b"'-'{b-a)C,„_„f{b)-l. 



n Si l'on donne à X une valeur quelconque supérieure à ^, tous les termes 

 de la suite précédente étant négatifs, la suite ne présente que des perma- 

 nences; il en résulte que réquation/( j:) = X n'a aucune racine réelle 

 comprise entre a el b lorsque X est plus grand que |3. On prouverait de 

 même que celte équation n'a auciuie racine réelle comprise entre les 

 mêmes limites lorsque X est plus petit que a, d'où la proposition énoncée, 



» 4. Parmi les conséquences qui découlent de la proposition qui fait 

 l'objet principal de cette Note, je mentionnerai encore la suivante, à cause 

 de sa simplicité et de son utilité dans la pratique. 



» Lorsque l'on veut obtenir le résultat de la substitution d'un nombre a 

 dans le polynôme 



J[x) = AoX'" H- A,x'"-' + A^x'"-- + . . . + A,„_,x + A„, 



on a à calculer successivement les termes de la suite 



4) Ao, Bo^AjrtH-A,, C„ = B(frt -I- Aa, ..., 



dont Iq dernier a prédeément pour valeur/ (tOi 



